§ 5. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения

а. Теория наибольших и наименьших значений широко применяется при решении различных задач, выдвигаемых практикой.

Пример. Из деревянного шара требуется вырезать цилиндр наибольшего объема (рис. 24).

Решение проводим так.

1. Сначала условимся, мы будем считать аргументом. В данном случае аргументом естественно считать радиус основания цилиндра.

2. Посмотрим, в каком интервале может изменяться этот аргумент соответственно смыслу нашей задачи.

Ответ на вопрос весьма прост, так как, во-первых, к не может быть отрицательным, а во-вторых, не может быть больше радиуса R шара. Итак, выбранный аргумент х изменяется на отрезке .

Рис. 24

3. Постараемся интересующую нас переменную — объем V цилиндра — выразить как функцию выбранного аргумента Имеем (объем цилиндра)

По теореме Пифагора (из прямоугольного треугольника )

вначит, объем цилиндра

4. Итак, задача свелась к разысканию наибольшего значения функции

на отрезке , т. е. к задаче, решать которую мы умеем.

Согласно пункту § 4 мы можем здесь разыскивать наибольшее значение не самого V, а

Приравнивая [V] нулю, имеем

Из найденных значений внутри отрезка лежит только одно, именно . А так как на концах отрезка функция внутри отрезка она положительна, то при мы и будем иметь наибольшее значение , а следовательно, и самого V.

Само наибольшее значение будет

b. Разобранную задачу можно было бы решать и иначе, беря за аргумент не а что-нибудь другое.

1. Например, возьмем за аргумент угол (рис. 24).

2. Совершенно ясно, что угол может изменяться от 0 до т. е. на отрезке

3. Выразим V как функцию Имеем

4. Итак, задача свелась к разысканию наибольшего значения функции

на отрезке

Приравнивая нулю так как теперь аргументом является , имеем

Решение дает что лежит на границе отрезка и, следовательно, должно быть отброшено. Далее, из

следует

Годится только положительный угол, т. е.

Замечая, что на концах отрезка имеем а внутри этого отрезка мы опять убеждаемся, что наибольшее значение нашей функции будет, если угол таков, что

Это наибольшее значение равно

Пример. Требуется огородить забором прямоугольную площадку площадью 36 м2 (рис. 25).

Рис. 25

Какую форму должна иметь площадка, чтобы расход материала был наименьшим?

1. За аргумент берем здесь основание х площадки.

2. х изменяется, очевидно, от 0 до , т. е. в интервале .

3. Выразим длину L забора (периметр прямоугольника) как функцию . Имеем

Но значит, , и мы имеем

4. Таким образом, мы должны найти наименьшее значение функции

в интервале .

Приравнивая V нулю, находим

Из найденных значений в интервале лежит только Замечая же, что на концах интервала наша функция равна

а внутри конечна, мы убеждаемся, что при ока будет достигать своего наименьшего значения. Следовательно, наиболее выгодной в смысле затраты материала (меньше всего материала) оказывается квадратная площадка со стороною .