Вопросы к главе 5

Буквою здесь всегда обозначаем простое нечетное число.

1. Доказать, что разыскание решений сравнения вида

сводится к разысканию решений сравнения вида

2, а. Пользуясь b, § 2, найти решения сравнения (в случае его возможности)

b. Пользуясь b и h, § 2, указать способ разыскания решений сравнений вида

c. Указать возможно более простой способ разыскания решений сравнений вида

в случае, когда известен некоторый квадратичный невычет N по модулю .

d. Пользуясь теоремой Вильсона, доказать, что решения сравнения

будут

3. а. Доказать, что сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид или сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид

Доказать бесконечность числа простых чисел вида

Доказать бесконечность числа простых чисел вида

4. Пусть, разбивая числа на две совокупности, вторая из которых содержит не менее одного числа, имеем: произведение двух чисел одной совокупности сравнимо по модулю с числом первой совокупности, а произведение двух чисел различных совокупностей сравнимо по модулю с числом второй совокупности. Доказать, что это будет тогда и только тогда, когда первая совокупность состоит из квадратичных вычетов, а вторая — из квадратичных невычетов по модулю .

5. а. Вывести теорию сравнений вида

представляя а и в системе исчисления с основанием .

b. Вывести теорию нений вида

представляя а и в системе исчисления с основанием 2.

6. Доказать, что решения сравнения

будут где

7. Указать способ решения сравнения в основанный на том обстоятельстве, что указанное сравнение равносильно такому:

8. Пусть при

a. При доказать, что

b. Пусть каждое из чисел имеет одно из значений — число пар где с условием

Доказать, что

c. Пусть

где и у пробегают возрастающие последовательности, составленные соответственно из X и Y вычетов полной системы по модулю р. Доказать, что

Для доказательства следует воспользоваться неравенством

d. Пусть - целое,

а) Доказать, что

Р) Пусть -постоянное; Доказать, что число Т чисел ряда для которых не выполняется условие удовлетворяет условию

Пусть М — целое, Доказать, что в ряде

имеется квадратичный невычет по модулю .

9, а. Доказать, что число представлений целого в виде

равно числу решений сравнения

Для доказательства, положив воспользоваться представлением согласно теореме вопроса 4, b, гл. I, и рассмотреть сравнение, получаемое почленным умножением (2) на

Пусть а — одно из чисел 2 и 3. Доказать, что число представ лений простого с условием в виде

равно половине числа решений сравнения

c. Пусть имеет вид

Доказать, что - четное число.

При имеем

10. Пусть - целое положительное, не являющееся квадратом целого числа. Доказать, что:

a. Если при данном целом k уравнению

удовлетворяют две пары целых то уравнению

удовлетворяют целые , определяемые равенством (знак ± выбирается произвольно)

b. Уравнение (уравнение Пелля)

разрешимо в целых положительных х, у.

c. Если — пара положительных х, у с наименьшим (или, что равносильно, с наименьшим ), удовлетворяющая уравнению (1), то все пары положительных у, удовлетворяющие этому уравнению, определяются равенством

11. Пусть

a. Доказать, что

Пусть — целые,

а) При любом целом a доказать, что

Р) При пользуясь теоремой вопроса а), доказать, что

Пусть и - целые, и Т обозначает число чисел сравнимых по модулю с числами ряда Доказать, что при имеем

Пусть Доказать, что

Из теоремы вопроса 11, а следует, что . То же самое доказать, используя представление равенством вопроса 6).

) Пусть Доказать, что при некотором 0 с условием не зависящем от а, имеем

Пользуясь теоремой вопроса 6), доказать, что

Пусть - число квадратичных вычетов, а число квадратичных невычетов в ряде . Доказать, что

Вывести формулы вопроса рассматривая сумму

Пользуясь теоремой вопроса 6), при доказать, что в ряде имеется квадратичный невычет по модулю .

Численные примеры к главе 5

1,а. Среди вычетов приведенной системы по модулю 23 указать квадратичные вычеты.

b. Среди вычетов приведенной системы по модулю 37 указать квадратичные невычеты.

2. а. Применяя b, § 2 указать число решений сравнений а) b. Указать число решений сравнений: а) .

3, а. Вычисляя символ Якоби, указать число решений сравнений а)

b. Указать число решений сравнений:

4, а. Применяя способы вопросов 2, а; 2, b; 2, с, решить сравнения

b. Решить сравнения:

5, а. Решить сравнение способами а) b, § 4; Р) вопроса 5, а; у) вопроса в.

b. Решить сравнение

6, а. Решить сравнение способами: a) d, § 4; Р) вопроса 5, b.

b. Решить сравнение