§ 4. Функция Мёбиуса

a. Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определенная равенствами: .

Из этого определения, в частности, следует, что:

а) Если в каноническом разложении числа а по меньшей мере один из показателей превосходит 1 (если а делится на квадрат, отличный от 1), то имеем .

b) В противном случае, т. е. в случае, если каноническое разложение числа а имеет вид имеем

Примеры.

b. 1. Пусть — мультипликативная функция и -каноническое разложение числа а. Тогда имеем:

(в случае правую часть считаем равной 1).

Действительно, функция как произведение мультипликативных функций и , сама является мультипликативной функцией. Применяя к ней тождество f, § 2 и имея в виду, что и что если , мы и убедимся в справедливости нашего утверждения.

2. В частности, полагая из а) получим

3. Полагая же получим

с. Пусть целым положительным отвечают любые вещественные, или комплексные .

Тогда, обозначая символом S сумму значений f, отвечающих значениям , равным 1, и символом сумму значений отвечающих значениям , кратным d, будем иметь

где d пробегает целые положительные числа, делящие хотя бы одно значение .

Действительно (2, b), имеем

Собирая же вместе члены с одними и теми же значениями d и вынося при этом за скобки, в скобках получим сумму тех и только тех значений которые отвечают значениям , кратным d, т. е. как раз и получим сумму .