§ 2. Мультипликативные функции

a. Функция называется мультипликативной, если она удовлетворяет двум следующим условиям:

1. Эта функция определена для всех целых положительных а и не равна нулю по меньшей мере при одном таком а.

2. Для любых положительных взаимно простых и а, имеем:

Пример. Нетрудно видеть, что мультипликативной является функция а, где - любое вещественное или комплексное число.

b. Для всякой мультипликативной функции имеем . Действительно, пусть не равно нулю. Находим

c. Свойство 2, а мультипликативной функции распространяется и на случай попарно простых чисел Действительно, имеем:

В частности, находим

d. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию , если положив и назначив произвольно значения для отвечающих положительным степеням простых чисел, в общем случае определим эту функцию равенством (1).

Действительно, если представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел то справедливо тождество

левая часть которого является произведением чисел отвечающих всем сомножителям вида числа , а правая часть является тем же произведением, но разбитым на два взаимно простых произведения, одно из которых является произведением чисел отвечающих всем сомножителям вида числа другое же является произведением чисел отвечающих всем сомножителям вида числа

Пример. Мультипликативную функцию можно построить, взяв если . Тогда при будем иметь . В частности, найдем:

е. Произведете двух мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Действительно, имеем

Кроме того, при находим

Доказанная теорема обобщается и на случай любого числа мультипликативных функций

Действительно, пользуясь ею последовательно, убедимся в мультипликативности произведений:

f. Пусть — мультипликативная функция — каноническое разложение числа а.

Тогда, обозначая символом 2 сумму, распространенную на все делители d числа а, будем иметь

(В случае правая часть считается равной 1.)

Чтобы доказать это тождество, раскроем скобки в его правой части. Тогда получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида

А это как раз и будет то, что стоит в левой части тождества.