§ 3. Дальнейшие свойства сравнений

a. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое.

Действительно, из следует

и, следовательно,

b. Обе части сравнения и модуль можно разделить на любой их общий делитель.

Действительно, пусть

Имеем

и, следовательно,

с. Если сравнение имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю, равному общему наименьшему кратному этих модулей.

В самом деле, из следует, что разность делится на все модули тк. Поэтому (в,е, § 5, гл. I) она должна делиться и на общее наименьшее кратное этих модулей, т. е. .

d. Если сравнение имеет место по модулю , то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю

В самом деле, из следует, разность должна делиться на поэтому (1, b, § 1, гл. I) она должна делиться и на любой делитель d числа , т. е. .

e. Если одна часть сравнения и модуль делятся на какое-либо число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

Действительно, из следует если, кратны d, то (2, b, § 1, гл. I) и b должно быть кратным d, что и утверждалось.

f. Если , то . Действительно, ввиду 2, b, § 2, гл. I это равенство непосредственно следует из