§ 7. Гипербола. Построение посредством нити

а. Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из. которых разность расстояний до двух данных точек и F называемых ее фокусами, есть величина постоянная.

Постоянную разность расстояний обозначим через 2а, так что для любой точки М гиперболы имеем (рис. 64)

(знак берем, если и знак — берем, если ).

b. Построение гиперболы можно осуществить посредством нити и чертящего острия с малым кольцом около него. Согнув нить вдвое (в точке N) с тем расчетом, чтобы разность длин полученных частей нити равнялась закрепим затем концы нити в фокусах согнутый же вдвое конец нити проденем через кольцо.

Рис. 64

Если теперь, взяв нить за согнутый конец N, мы будем поддерживать ее в натянутом состояпии и одновременно другой рукой будем двигать чертящее острие, то. и получим гиперболу. Действительно, при любом положении чертящего острия разность расстояний его до фокусов будет оставаться неизменной (насколько увеличится или уменьшится настолько же увеличится или уменьшится в ).

с. Середина расстояния между фокусами называется центром гиперболы, так как относительно этой точки гипербола симметрична.

Длина называется фокусным расстоянием. Мы ее обозначим через а половина этого расстояния называется полуфокусным расстоянием, она равна с.

Весьма удобно центр гиперболы принять за начало координат, а за ось абсцисс принять прямую, проходящую через фокусы (как на рис. 64). Тогда координаты фокусов будут

Всякий отрезок, соединяющий две точки гиперболы, если он проходит через центр, называется диаметром гиперболы. Рассматривая форму гиперболы, мы видим что наименьший диаметр лежит на оси абсцисс; этот диаметр называется действительной осью гиперболы Нетрудно показать, что длина действительной оси гиперболы равна 2а.

В самом деле, основное, свойство гиперболы (1), справедливое для всех ее точек, справедливо и для точек Поэтому

Но из чертежа видно, что

Ввиду этого равенство (2) дает или Ясно, что и так что

Число а называется действительной полуосью. Концы деиствцтельной оси, т. е. точки называются вершинами гиперболы.

e. Совершенно ясно далее, что для гиперболы

Действительно (рис. 64), разность двух сторон треугольника меньше или равна третьей и потому из треугольника имеем

Поэтому также будем иметь и выражение — с для гиперболы будет уже отрицательным (а не положительным, как у эллипса). Это выражение мы обозначаем теперь уже через — :

Геометрический смысл величины b выяснится дальше

Отношение для гиперболы тоже носит название эксцентриситета. Но здесь ввиду имеем

тогда как для эллипса