§ 10. График уравнения с двумя переменными

а. Мы выясним здесь, какое геометрическое значение имеет уравнение, связывающее переменные

(иногда все три, иногда и не все), если эти переменные рассматривать как координаты точки в пространстве.

Уравнение, связывающее мы предположим разрешенным относительно Пусть

Чтобы построить какую-либо точку искомого геометрического места, выберем значения двух переменных (независимых переменных) произвольно. Соответствующее значение тогда определим из формулы (1). Получим точку . Выбрав для другую пару значений, из (1) получим новое значение новую точку нашего геометрического места; выбирая для новые значения, получим еще одну точку и т. д.

Рис. 101

Таким образом, мы можем построить сколько угодно точек искомого геометрического места.

b. Для выяснения характера геометрического места точек М рассмотрим одновременно с М еще проекцию ее на плоокость (рис. 101), Эта точка рассматриваемая как точка плоскости имеет координаты и у. Таким образом задавая произвольно мы произвольно задаем некоторую точку плоскости Но тогда аппликата с уже не может быть произвольной — она определяется уравнением (1) Каждой точке плоскости будет отвечать своя аппликата определяемая уравнением (1).

Концы М этих аппликат и образуют наше геометрическое место Оно, очевидно, является некоторой поверхностью.

Вид поверхности, конечно, зависит от вида уравнения (1).