§ 31. Винтовая линия

а. В качестве примера мы выведем параметрические уравнения винтовой линии. Эту кривую можно получить следующим образом.

Прямой круговой цилиндр с радиусом основания а обертываем листом бумаги, как показано на рис. 121.

Рис. 121

Этот лист имеет форму треугольника с основанием А В, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой h (h — шаг винта). Сторона АС треугольника и нарисует на цилиндре винтовую линию.

b. Выведем параметрические уравнения винтовой линии, принимая за параметр t угол (считая здесь положительным то вращение, которое идет от оси к оси ). Точка является проекцией точки М на плоскость . Абсцисса и ордината у точки совпадают с абсциссой и ординатой ючки М — они суть проекции вектора на оси и равны

Что касается аппликаты z точки то ее лучше всего найдем из рассмотрения в виде, еще не навернутом на цилиндр. Здесь выпрямленная дуга в верхней части рис. 121 и, следовательно,

(дуга измеряется произведением радиуса на угол). Имеем пропорцию

откуда

Итак, параметрическими уравнениями винтовой линии будут