§ 27. Простейшие поверхности. Эллипсоид

а. Из поверхностей мы рассмотрим только эллипсоид. Уравнение эллипсоида подобно уравнению эллипса. Оно имеет вид

где — положительные постоянные. Мы выясним форму эллипсоидау рассекая его плоскостями, параллельными осям координат (рис. 117).

b. Во-первых, находим сечение плоскопью . Уравнение его получим, полагая (уравнение эдесь понимается условно — в смысле зависимости между , когда постоянная). Это уравнение будет

т. е. искомое сечение — эллипс с полуосями а и с.

Рис. 117

с. Далее, мы должны рассмотреть еще уравнении других сечений, параллельных плоскости . Для этого положим теперь

(т. е. рассматриваем сечение плоскостью, параллельной и отстоящей от на расстояние ). Уравнение сечения будет

левая часть уравнения есть сумма квадратов и, вначит, Следовательно, выражение в правой части тоже должно быть

Представляя это выражение в форме

и деля на него обе части найденного уравнения, получим

А это показывает, что найденное нами сечение есть эллипс. Полуоси этого эллипса будут

они получаются из полуосей а и с эллипса (1) умножением на одно и то же число

С увеличением этот эллипс будет удаляться от плоскости причем его полуоси (3) будут уменьшаться (потому что уменьшается подкоренное выражение), пока, наконец, обе полуоси обратятся в нули и эллипс превратится в точку. Таким образом, часть эллипсоида, отвечающая положительным , получается перемещением некоторого деформируемого эллипса параллельно плоскости . Центр О этого эллипса скользит по оси полуоси же и его все время уменьшаются, пока не обратятся в нуль при

d. Совершенно ясно далее, что от изменения знака уравнение (2) не изменится, т. е. отрицательным будут отвечать такие же эллипсы, как и положительным. Значит, часть эллипсоида, отвечающая отрицательным будет симметрична той, которая отвечает положительным

e. Интересно далее выяснить, по каким кривым скользят вершины А и С переменного эллипса, описывающего эллипсоид?

Вершина А скользит по кривой пересечения эллипсоида с плоскостью Ее получим, полагая Следовательно, ее уравнением будет

f. Точно таким же образом убедимся, что вершина С скользит по эллипсу

лежащему в плоскости

g. Длины а, b, с отрезков, отсекаемых эллипсоидом на осях, называются полуосями.

h. В частности, при уравнение эллипсоида будет

эллипсы будут кругами

Такой эллипсоид но всех быть подучен вращением вокруг) оси эллипса

лежащего в плоскости и поэтому называется эллипсоидом вращения,

k. Если же , то уравнение эллипсоида при нимает вид

Эллипсоид обращается в шаровую поверхность