§ 4. Простейшие зависимости, содержащие величину вектора, проекции и направляющие косинусы

a. Косинусы углов, образуемых осью вектора с осями называются направляющими косинусами, так как характеризуют направление вектора.

b. Согласно теореме о величине проекции вектора проекции вектора получатся умножением его величины на указанные направляющие косинусы:

c. В частности возьмем направление оси совпадающим с направлением самого вектора; тогда обратится в длину вектора и в направляющие косинусы самого вектора, и найденные формулы примут вид:

d. Из этих формул можно выразить направляющие косинусы вектора через его проекции:

e. Геометрически ясно далее, что сами направляющие косинусы не могут быть независимыми, потому что когда известны два угла , для ОР возможно только самое большее два направления (например на рис. 94, кроме изображенного на нем, еще - симметричное направление ниже плоскости ),

Мы выведем сейчас уравнение связывающее эти направляющие косинусы. Действительно возводя (2) в квадрат и складывая, имеем

откуда, деля обе части на получим

f. Например найдем проекции x, у, z вектора длины образующего с осями равные острые углы.

Здесь и потому равенство

обращается в

Берем знак плюс, потому что угол а по предположению острый. Итак,

в следовательно, согласно формуле (2) ввиду получим

Найдем еще направляющие косинусы вектора, заданного проекциями

Указанные косинусы можно было бы вычислять непосредственно по формулам (3) в окончательном виде, Однако удобнее раньше вычислить . Имеем

и следовательно, согласно формулам (3)