§ 2. Важнейшие свойства характеров

а. В первую очередь отметим три следующих свойства характеров: а)

у) следует

Действительно, свойство а) найдем из (1), § 1, положив При равенство Р) следует из (1), § 1 и теоремы с, § 7, гл. VI, а при (агаг, оно обращается в тождество Наконец, свойство у) является следствием определения системы индексов, данного в § 7, гл. VI.

b. Число различных характеров по модулю равно

Действительно, указанным в а, § 1 способом получим характеров. При этом при у каких-либо двух из них, пусть , будут различны значения по меньшей мере одного из корней . Для числа а, у которого все индексы равны нулю, кроме лишь одного, отвечающего этим R и равного 1, будем иметь . Поэтому характеры различны и наше утверждение верно.

c. Имеем

Действительно, применяя формулу (1), § 1, находим

где пробегают наименьшие неотрицательные вычеты по модулям

Если - главный характер, то правая часть равна Если же главный характер, то по меньшей мере один из корней не равен 1 и соответствующая ему сумма правой части равна нулю. А вместе с нею равна нулю и вся правая часть.

d. Распространяя суммирование на все различных характеров, имеем

Действительно, теорема верна при , так как в этом случае имеем . Теорема верна и при , т. е. в случае ; это следует из а), а, § 2 и b, § 2.

Остается рассмотреть лишь случай , но при условии, что а несравнимо с 1 по модулю , т. е. при условии, что среди чисел имеется по меньшей мере одно y, не равное нулю. Но из (1), § 1 следует равенство

которое и доказывает теорему, так как среди сомножителей его правой части имеется сумма, отвечающая указанному y. равная нулю.

е. Характеры по модулю обладают следующими свойствами:

а) Если - характеры, - также характер.

Если -характер и пробегает все характеры, то также пробегает все характеры.

При имеем

Действительно, пусть - значения корней, входящих в определение характеров (а) и . Тогда — характер, у которого соответствующими значениями корней являются При этом, если каждое пробегает все свои значения, то и каждое в некотором порядке пробегает те же самые значения. Свойства а) и установлены.

Далее, найдя из условия , выводим

Свойство у) также установлено.

f. Характером модулю m является всякая функция (а), определенная для всех целых а и удовлетворяющая условиям:

Р) не равна тождественно нулю,

Действительно, согласно существует такое для которого не равно нулю. Из согласно у) находим . Отсюда, разделив почленно на получим

Пусть а — любое число с условием Определив сравнением , согласно у) имеем Отсюда следует, что не равно нулю.

Заставляя а пробегать приведенную систему вычетов по модулю пробегать все различных характеров, рассмотрим сумму

Замечая (d), что при в противном случае, получим откуда, представляя Н в виде

убедимся в существовании по меньшей мере одного не равным нулю. При этом при каждом с условием будем иметь

отсюда и из а) следует, что функция для каждого совпадает с характером

Пример 1. Построим все характеров по модулю 5 (для каждого характера выписываем значения, отвечающие числам полной системы вычетов по модулю 5). Здесь корнями уравнения будут

А таблица индексов по модулю 5 (с основанием 2) будет

Поэтому таблица значений характеров, отвечающих корням будет

Пример 2. Укажем все характеров по модулю 21. Здесь корень уравнения имеет 2 значения: , а корень уравнения имеет значений:

При этом характер, отвечающий какой-либо из 12 пар значений и будет (пример 4, e, § 7, гл. VI):

Здесь значение характера, отвечающее какому-либо числу N, взаимно простому с 21, получаются перемножением степеней чисел и помещенных ниже этого числа