§ 8. Разыскание производных путем логарифмирования. Производные функции х^n при любом n к функции а^x.

а. Пусть требуется найти производную функции

Логарифмируя, имеем

Берем производные обеих частей равенства и, имея в виду, что у есть функция х и, следовательно, — сложная функция х, так что

получим

откуда ввиду (1) имеем

Найдем еще производную функции

Здесь имеем (см. пункт «а» § 9)

Подобный путь разыскания производных называется способом логарифмирования.

Кроме пользы, которую он может принести при непосредственном вычислении производных, он поможет нам вывести несколько новых формул.

b. Прежде всего применим способ логарифмирования к выводу производной функции

причем может быть теперь любым постоянным (дробным и даже отрицательным). Имеем

Итак,

т. е. имеет место та же самая формула, как и при целом положительном .

Например,

Эту последнюю формулу

не лишне тоже запомнить, так как ею приходится пользоваться довольно часто.

c. Найдем, наконец, производную функции

Имеем

Итак,

В частности, если , и мы получим

Например,

d. Выведем еще формулу для производной

Если

то

Итак,