§ 5. Обратные функции

а. Возьмем какую-либо функцию

и вычертим ее график (на рис. 36 он изображен кривой А В).

Далее построим биссектрису CD первого и третьего координатных углов и поверяем весь чертеж так, чтобы прямая CD была осью вращения. Тогда наша кривая АВ перейдет в новое положевпе, и мы получим вторую кривую Обе кривые, первая и вторая, будут очевидно взаимно симметричны или, выражаясь иначе, зеркальны относительно биссектрисы

Рис. 36

Если мы проследим за тем, что произошло с координатами точек первой кривой, то увидим, что при переходе за новое место абсциссы, не мецяя своей величины, превратились в ординаты точек второй кривой, а ординаты превратились в абсциссы.

Например, абсцисса точки М переходит в ординату точки , а ордината переходит в абсциссу.

Таким образом, уравнение второй кривой будет

Если решить уравнение (2) относительно у, то получим новую функцию которую обозначим например, так:

Очевидно, зависимость, задаваемая уравнениями (1.) в одна и та же; разница только в том» что зависимая переменная функции (1) является независимой для функции (3) и обозначается уже не через у, а через

Обратно, независимая переменная функции (1) является зависимой для функции (3) и обозначается уже не через через у.

b. Пусть имеется функция

Обратную функцию получаем, заменяя у на х, а х на у и решая полученное уравнение относительно у:

так что для степенной функции обратная функция является иррациональной.

На рис. 37 функция (4) изображена сплошной линией, тогда как функция (5) пунктиром. Полученные кривые, как мы видим, являются параболами расположенными симметрично относительно биссектрисы

Рис. 37

c. В качестве второго примера мы рассмотрим показательную функцию

Заменяя у на х и х на у, имеем

Решить это уравнение относительно у можно только с помощью логарифмической функции

Таким образом, логарифмическая функция обратна показательной.

Согласно тому, что было сказано выше, нам достаточно построить график только для показательной функции, так как график для логарифмической функции будет ишь его зеркальным отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Для простоты пусть составляя таблицу и вычерчивая графики, пол учим кривые, изображенные на рис. 38.

Нетрудно видеть, что кривая изображающая функцию имеет своей асимптотой ось абсцисс; напротив, кривая, изображающая функцию имеет асимптотой ось ординат.

Учащемуся самому рекомендуется вычертить графики функций (6) и (7) при других значениях основания а.

d. Теперь рассмотрим функцию

Сделаем теперь зависимую переменную независимой, тогда независимая переменная станет зависимой.

В соответствии с этим переменим названия: у заменим на х, а х на у. Тогда получим уравнение

Это уравнение нам дает функцию, обратную для синуса но дает неявно.

Рис. 38

Чтобы выразить у через явно нужно решить уравнение (9) относительно у. Однако этого сделать нельзя, имея в руках только те обозначения, которые нам дает алгебра и тригонометрия. Нужно вводить новый символ. Прежде всего заметим, что уравнение (2) можно прочитать так:

Условимся эту фразу записывать сокращенно так:

(11)

Это и есть необходимое нам обозначение для функции, обратной синусу; последняя функция называется арксинусом.

Нужно всегда помнить, что теперь — это синус и, следовательно, не может быть численно больше единицы, а у — это дуга; кроме того, нельзя забывать что знак

есть просто сокращенная фраза (10) и, следовательно, отрывать от никогда нельзя.

Вычертим теперь график синуса, попутно мы получим и график арксинуса. Таблицу мы здесь составлять не станем, а воспользуемся геометрическим приемомд который хорошо виден на рис. 39.

Мы строим с центром где-либо на оси абсцисс окружность радиуса, равного единице. Далее, разделяя окружность на равные части, на оси абсцисс откладываем длины этих дуг. (Практически мы конечно, просто отложим отрезок, равный и разделим его на такое же число равных частей, как и окружность.)

Рис. 39

Полученные отрезки нам дадут абсциссы; соответствующие же ординаты получим, проводя из точек деления окружности прямые параллельно оси абсцисс.

Нетрудно видеть, что графиком синуса является волнообразная кривая, неограниченно уходящая вправо и влево. Периодичность синуса отражается в правильном повторении волн.

Кривая называется синусоидой. Вместе с тем путем отражения от биссектрисы CD мы получим такую же синусоиду около оси ординат, которая будет графиком арксинуса.

Нетрудно заметить, что каждой абсциссе последней кривой (которая, конечно, численно никогда не больше единицы) соответствует бесконечное множество ординат. Это, разумеется, происходит потому, что каждому синусу отвечает не одна, а бесчисленное множество дуг. Такая многозначность, как мы уже говорили в § 3 главы весьма неудобна, а потому мы ограничим область изменения арксинуса так:

От такого ограничения мы ничего не теряем, так как при изменении дуги в этих пределах синус успевает бежать все возможные для него значения от —1 до 1,

На рис. 39 это соответствует тому, что мы рассматриваем не всю кривую арксинуса, а только ее дугу изображенную сплошной линией (остальная часть отмечена пунктиром). Подобным же образом мы введем функцию, обратную косинусу.

Если имеем

то обратную функцию будем обозначать

и вызывать арккосинусом.

Последний ввиду его многозначности мы тоже ограничим, но не границами от до а границами

Это вызывается тем, что именно при изменении дуги от О до косинус успевает пробежать все свои значения от —1 до Чтобы построить график косинуса, а следовательно, и арккосинуса, заметим, что

Следовательно, косинус есть просто синус, запоздавший на четверть окружности. Поэтому график косинуса получится, если график синуса сдвинуть влево на

Рис. 40

После этого, отразив график относительно биссектрисы CD, получим график арккосинуса. Учащимся самим рекомендуется построить эти графики и найти, какую именпо дугу арккосинуса мы оставляем.

Аналогично мы вводим функции, обратные другим тригонометрическим функциям.

Для нас важны в дальнейшем лишь арктангенс и арккотангенс. Ввиду многозначности первый мы ограничиваем подобно сипусу пределами:

а второй ограничиваем подобно косинусу:

Мы здесь приводим только графики тангенса в арктангенса (рис. 40), рекомендуя учащимся самим в нем разобраться, а также рекомендуем учащимся самим пост роить график котангенса и арккотангенса.