§ 13. Уравнение параболы

a. Для каждой точки параболы имеем

Но можно рассматривать как расстояние между точками (рис. 71), и потому

Далее имеем

Поэтому равенство (1) принимает вид

b. Однако найденное уравнение следует ещё упростить, Возводя в квадрат и раскрывая скобки, имеем

Приводя подобные члены, мы и получим простейшее уравнение параболы

с. Решая это уравнение относительно у, имеем

Отсюда видим, что может принимать только положительные значения (и нуль), иначе у будет мнимым. При этом каждому положительному отвечают два значения у Итак, форма параболы, получаемая согласно уравнению в точности соответствует чертежу, сделанному выше.

Рис. 71

Рис. 72

d. Связь с параболой Наша цель — показать, что рассмотренные нами раньше параболы

те же самые; что и рассматриваемые сейчас.

Действительно, поступим с графиком параболы так, как мы это делали в начале книги при рассмотрении обратных функций. Повернем плоскость чертежа вокруг оси (биссектрисы первого координатного угла) на 180° (рис. 72). Тогда ось совпадет с и ось совпадет с

Парабола займет новое положение.

Ее новое уравнение получим из старого, переставив в нем у на место и z на место . Оно теперь будет

или

Из этого уравнения, употребляя обозначение

имеем