§ 10. Производные обратных тригонометрических функций

а. Пусть

Это означает, что

откуда, беря производные обеих частей и замечая, что — сложная функция х, получим

Однако найденный результат выражен через у, тогда как все производные у нас принято выражать через х. Последнее сделать нетрудно: cos у можно выразить через sin у, а этот последний ввиду равенства (1) можно заменить на х. Получим

Перед корнем берем знак ввиду того, что за мы принимаем главное значение арксинуса, т. е. у есть угол, лежащий в интервале и потому

Итак,

b. Пусть

Имеем

Итак,

c. Пусть

Имеем

Итак,

d. Пусть

Имеем

Итак,