§ 3. Символ Якоби

a. Полезным обобщением символа Лежандра является символ Якоби. Пусть Р — нечетное, большее единицы, и разложение его на простые сомножители (среди них могут быть и равные). Пусть, далее,

Тогда символ Якоби определяется равенством

Известные свойства символа Лежандра дают возможность установить аналогичные свойства и для символа Якоби.

b. Если , то Действительно,

потому что о, будучи сравнимо с по модулю Р, будет сравнимо с и по модулям которые являются делителями Р.

В самом деле,

Чтобы убедиться в этом, заметим, что

но

ввиду чего из формулы (1) выводим

Действительно,

собирая символы с одинаковыми числителями, мы и получим утверждаемое свойство. Отсюда следствие:

Действительно,

но

ввиду чего из формулы (2) выводим

g. Если Р и - положительные нечетные взаимно простые, то

Действительно, пусть есть разложение Q на простые сомножители (среди них опять-таки могут быть равные). Имеем

Но, подобно тому, как в d, находим

ввиду чего последняя формула дает

h. Рассматривая символ Лежандра Как частный случай символа Якоби и пользуясь свойствами последнего, можно вычислить символ Лежандра быстрее, чем с помощью теоремы b, § 2.

Пример. Узнаем, сколько решений имеет сравнение

Имеем (применяя последовательно свойства g, b, следствие ):

следовательно, рассмотренное сравнение имеет два решения.