Глава 2. КООРДИНАТЫ

§ 1. Метод координат

Одпим из самых важных вопросов математики является определение положения точки. Это можно сделать многими способами.

На плоскости положение точки удобнее всего определять относительно двух взаимно перпендикулярных осей.

Оси должны быть заранее заданы и носят название координатных осей; одна из них называется осью абсцисс или осью иксов, другая осью ординат или осью игреков, точка их пересечения называется началом координат. Начало координат обозначается обычно буквой О, ось абсцисс обозначается ось ординат Координатные оси делят есвд. плоскость на четыре угла, которые называются координатными углами и которые мы будем нумеровать в порядке, указанном на рис. 26.

Рис. 26

Положение любой точки вполне определяется, если мы соединим начало координат с этой точкой и найдем величины проекций полученного вектора на оси. Построенный таким способом вектор имеет направление от начала координат к точке и носит название радиус-вектора данной точки, величина его проекции на ось абсцисс называется абсциссой точки, величина его проекции на ось ординат называется ординатой точки.

Заметим, что вообще числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.

Абсцисса и ордината являются именно такими числами; поэтому их называют координатами точки на плоскости, причем добавляют слово прямоугольные так как координатные оси перпендикулярны.

Абсциссу мы будем обозначать буквой ординату — буквой у.

Мы зпаем, что знак величины проекции вектора какую-либо ось будет положителен, когда ее направление совпадает с направлением этой оси; в противном случае знак будет отрицателен.

Рассматривая чертеж, можно убедиться, что в различных координатных углах знаки координат точек будут такие:

Условились, обозначая точку, писать рядом в скобках ее координаты, причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором — ордината. Например, для точек лежащих в различных углах (см. рис. 26), мы будем иметь обозначения

Очевидно, если точка лежит на оси абсцисс, то ее дината раина нулю; если же она лежит на оси ординат, ее абсцисса равна нулю. Например, координаты точек (см. рис. 26) таковы:

Для начала координат имеем обозначение

Произвольную точку плоскости обозначают так:

Очевидно, каждой точке плоскости соответствует пара чисел — ее координат — и, обратно, каждой произвольной паре чисел соответствует точка плоскости. С помощью координат мы производим учет всех точек плоскости. Такой учет имеет огромное значение: он позволяет соединить в одно единое целое геометрию и анализ. Анализ изучает свойства чисел и взаимоотношения между ними, к нему относятся, между прочим, арифметика и алгебра; геометрия изучает свойства фигур, которые все зависят от положения частей фигуры. Поэтому учет положения точек с помощью чисел даст возможность использовать в геометрии методы алгебраического анализа. При этом мы, с одной стороны, получаем возможность алгебраически решать чрезвычайно трудные геометрические задачи, с другой стороны геометрически пояснять теоремы анализа, которые приобретают от этого необычайную наглядность.

Каждое понятие, каждая теорема могут быть высказаны как бы на двух языках — на геометрическом и аналитическом. Например, на яэыке анализа задать точку означает вадать ее координаты, найти точку — значит найти ее координаты.

Решение геометрических задач с помощью анализа и составляет сущность метода координат, к изучению которого мы теперь и приступаем.