§ 8. Угол между двумя лекторами. Условия параллельности и перпендикулярности

а. Пусть даны два вектора, указанные на рис. 17: с проекциями лежащий на оси , и с проекциями лежащий на оси . Для простоты предположим, что направления этих векторов совпадают с направлениями их осей.

Рис. 17

Обозначим углы

Очевидно,

а потому

В предыдущем параграфе было доказано, что

Подставляя (2) в (1), получим

b. Умножая обе части каждого равенства (3) на получим еще

Обе эти формулы имеют большое применение в меха нике.

Выражение называется скалярным произведением двух векторов.

Если разделить первую из формул (3) на вторую, то получим

Формулы этого и предыдущего параграфа выведены в предположении, что векторы выходят из начала координат. Однако они будут верны при любом расположении векторов. Действительно, если какой-либо вектор перенести параллельно самому себе, то ни длина его, ни величины проекций не изменятся, не изменятся также и углы с осями, и следовательно, никакого изменения в формулах не произойдет.

Может случиться, что векторы параллельны. Тогда или , откуда

Формула (4) тогда превратится в

Формула (7) называется условием параллельности двух векторов; она нам позволяет узнать, когда векторы парал дельны. Очевидно, (7) можно представить так:

Однако так писать возможно лишь в том случае если ни ни не равны нулю, в противном случае формула (8) теряет всякий смысл, ибо на нуль делить нельзя.

Если же то тогда (7) превратится в

Мы знаем, что произведение может, равняться нулю только в том случае, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следовательно, либо либо

0. Если то второй вектор превращается в точку, этот случай не представляет никакого интереса. Если же то формула (7) превращается в

Но в этом случае нам не нужна никакая формула чтог бы узнать, параллельны ли векторы.

Действительно, если одновременно то оба вектора перпендикулярны оси и, следовательно, параллельны между собой.

Теперь рассмотрим перпендикулярность векторов, Тогда 90° или 270°, откуда

Равенство (5) принимает вид

Формула (9) является условием перпендикуляртсти двух векторов.