§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю

а. Если попарно простые, то сравнение

равносильно системе

При этом, обозначая через числа решений отдельных сравнений этой системы по соответственным модулям и через Т — число решений сравнения (1), будем иметь

Действительно, первая часть теоремы следует из с и d, § 3, гл. III. Вторая часть следует из того, что каждое сравнение

выполняется тогда и только тогда, когда выполняется одно из сравнений вида

где пробегает вычеты решений сравнения (2), причем возможно всего различных комбинаций вида

приводящих (с, § 3) к различным классам по модулю

Пример. Сравнение

равносильно системе

Легко убедимся (§ 1), что первое сравнение этой системы имеет 2 решения: второе же сравнение имеет 3 решения: Поэтому сравнение (3) имеет решений. Чтобы найти эти 6 решений, надо решить 6 систем вида

которые получим, заставляя пробегать значения , пробегать значения . Но, ввиду

совокупность значений удовлетворяющих системе (4), представится в виде (b, § 3)

Поэтому решения сравнения (3) будут

Ввиду теоремы а исследование и решение сравнения

сводятся к исследованию и решению сравнений вида

это же последнее сравнение сводится вообще, как мы сейчас выясним, к сравнению

Действительно, всякое удовлетворяющее сравнению (5), необходимо должно удовлетворять и сравнению (6). Пусть

— какое-либо решение сравнения (6). Тогда , где — целое. Вставляя это значение в сравнение

и разлагая левую часть по формуле Тейлора, найдем (принимая во внимание, что и отбрасывая члены, кратные )

Ограничиваясь здесь случаем, когда не делится на , имеем одно решение:

Выражение для принимает вид

вставляя его в сравнение

получим

Здесь не делится на , так как

и потому последнее сравнение имеет одно решение:

Выражение для принимает вид

и т. д. Таким путем по данному решению сравнения (6) постепенно найдем сравнимое с ним решение сравнения (5). Итак, всякое решение сравнения (6) при условии, что не делится на , даст одно решение сравнения (5):

Пример. Решим сравнение

Сравнение имеет одно решение при этом и, следовательно, не делится на 3.

Находим:

Таким образом сравнение (7) имеет одно решение