§ 16. Дифференцирование неявных функций

а. Очень часто приходится разыскивать производные функций, заданных неявно.

Пусть, например, функция задана неявно уравнением

Здесь у есть функция . Если решим уравнение относительно у, то получим

(для простоты берем только знак ) и тогда

Это один из возможных путей разыскания производной. Однако эту производную можно найти и иначе (ср. §§ 3 и 10).

Именно, так как левая часть равенства (1) равна правой, то производная левой части равна производной правой части. Но левая часть есть сложная функция (у - сложный аргумент), а правая часть — простая.

Поэтому

Здесь производная выражена через у, но ее можно выразить и через х. Ввиду равенства (2) находим

Этот результат вполне совпадает с найденным раньше первым путем.

b. Возьмем другой пример:

Приравнивая опять производные обеих частей равенства (нуль—постояннее и, следовательно, производная нуля — тоже нуль), получим

c. Подобным же путем можно находить и высшие производные функций, заданных неявно. Найдем, например, вторую производную функции, заданной уравнением (3). Первую производную у мы уже нашли, она определяется равенством (4), и чтобы найти мы приравняем производные обеих частей равенства (4). Получим

Отсюда, заменяя у на основании равенств (4), имеем

Аналогичным путем можно найти и

Очень часто дифференцирование неявных функций выполняют, беря не производные, а дифференциалы обеих частей равенства. Это дает то преимущество, что формулы получаются верными независимо от того, какая переменная у нас служит аргументом. Для пояснения рассмотрим опять пример пункта «b»

Приравнивая дифференциал левой части дифференциалу правой и пользуясь формулами § 13 относительно вычисления дифференциалов, имеем

Здесь не следует заботиться, какая переменная у нас считается аргументом: ввиду пункта «b» § 13, например, имеем

независимо от того, будет ли в выражении переменная у аргументом или же функцией другой переменной или еще какой-либо совершенно новой переменной t. Надо только помнить, что этот аргумент должен быть общим для всех членов равенства.

Из равенства (5) имеем далее