Вопросы к главе 4

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Макеты страниц

Вопросы к главе 4

1, а. Пусть — целое, - целая рациональная функция с целыми коэффициентами от переменных . Если сравнению

удовлетворяет система то (обобщение определения § 1) систему классов чисел по модулю :

будем считать за одно решение сравнения (1).

Пусть Т—число решений сравнения (1). Доказать, что

b. При обозначениях вопроса а и вопроса 12, e, гл. III доказать, что

c. Равенство вопроса а применить к доказательству теоремы о числе решений сравнения первой степени.

d. Пусть - целое, - целые, их число равно ; — число решений сравнения

Пользуясь равенством вопроса а, доказать, что

е. Теорему вопроса d доказать, исходя из теоремы о числе решений сравнения .

2, а. Пусть Доказать, что сравнение имеет решение .

b. Пусть - простое, Доказать, что сравнение за имеет решение

c, а) Указать возможно более простой способ решения сравнения вида

) Указать возможно более простой способ решения сравнения

) Пусть Развивая способы, указанные в вопросах а) и , доказать, что разыскание решения сравнения может быть приведено к разысканию решений сравнений вида , где — простой делитель числа а.

3, Пусть — целое, Пользуясь теорией сравнений, доказать существование целых с условиями

4, а. При будем рассматривать символическую дробь по модулю обозначающую любой вычет решения сравнения . Доказать, что (сравнения берутся по модулю ):

а) При имеем

) Числитель символической дроби можно заменить сравнимым , кратным а. Тогда символическая дробь сравнима с целым числом, представляемым обычной дробью —

b, а) Пусть - простое, - целое, Доказать, что

Пусть - простое, Доказать, что

5, а. Пусть - делитель числа не делящийся на квадрат целого, превосходящего 1, и на простые, меньшие , и к — число различных простых делителей числа d. Доказать, что в ряде

чисел, кратных будет

b. Пусть — различные простые делители числа а, причем ни один из них не меньше чем . Доказать, что число чисел ряда (1), взаимно простых с , будет

6. Пусть -общее наименьшее кратное чисел

a. Пусть Доказать, что система

разрешима тогда и только тогда, когда кратно d, причем в случае разрешимости совокупность значений удовлетворяющих этой системе, определяется сравнением вида

b. Доказать, что в случае разрешимости системы

совокупность значений ей удовлетворяющих, определяется сравнением вида

7. Пусть — целое, , а - целые,

где пробегает приведенную систему вычетов по модулю , причем (в смысле вопроса 4, а).

Доказать следующие свойства символа

а) — вещественное.

Y) При имеем

б) При попарно простых, полагая , имеем

8, Пусть сравнение

имеет решений

Доказать, что

где есть сумма всех — сумма произведений по два, — сумма произведений по три и т. д.

9, а. Доказать теорему Вильсона, рассматривая пары чисел ряда удовлетворяющие условию

b. Пусть — целое, . Доказать, что Р — простое.

10, а. Пусть Указать сравнение степени со старшим коэффициентом 1, равносильное сравнению

b. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что сравнение имеет решений, есть делимость на всех коэффициентов остатка от деления на

c. Пусть — делитель Доказать, что необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения есть , причем в случае разрешимости указанное сравнение имеет решений.

11. Пусть — целое, и известно одно решение сравнения . Доказать, что все решения этого сравнения представятся произведением на вычеты решений сравнения