Вопросы к главе 4

1, а. Пусть — целое, - целая рациональная функция с целыми коэффициентами от переменных . Если сравнению

удовлетворяет система то (обобщение определения § 1) систему классов чисел по модулю :

будем считать за одно решение сравнения (1).

Пусть Т—число решений сравнения (1). Доказать, что

b. При обозначениях вопроса а и вопроса 12, e, гл. III доказать, что

c. Равенство вопроса а применить к доказательству теоремы о числе решений сравнения первой степени.

d. Пусть - целое, - целые, их число равно ; — число решений сравнения

Пользуясь равенством вопроса а, доказать, что

е. Теорему вопроса d доказать, исходя из теоремы о числе решений сравнения .

2, а. Пусть Доказать, что сравнение имеет решение .

b. Пусть - простое, Доказать, что сравнение за имеет решение

c, а) Указать возможно более простой способ решения сравнения вида

) Указать возможно более простой способ решения сравнения

) Пусть Развивая способы, указанные в вопросах а) и , доказать, что разыскание решения сравнения может быть приведено к разысканию решений сравнений вида , где — простой делитель числа а.

3, Пусть — целое, Пользуясь теорией сравнений, доказать существование целых с условиями

4, а. При будем рассматривать символическую дробь по модулю обозначающую любой вычет решения сравнения . Доказать, что (сравнения берутся по модулю ):

а) При имеем

) Числитель символической дроби можно заменить сравнимым , кратным а. Тогда символическая дробь сравнима с целым числом, представляемым обычной дробью —

b, а) Пусть - простое, - целое, Доказать, что

Пусть - простое, Доказать, что

5, а. Пусть - делитель числа не делящийся на квадрат целого, превосходящего 1, и на простые, меньшие , и к — число различных простых делителей числа d. Доказать, что в ряде

чисел, кратных будет

b. Пусть — различные простые делители числа а, причем ни один из них не меньше чем . Доказать, что число чисел ряда (1), взаимно простых с , будет

6. Пусть -общее наименьшее кратное чисел

a. Пусть Доказать, что система

разрешима тогда и только тогда, когда кратно d, причем в случае разрешимости совокупность значений удовлетворяющих этой системе, определяется сравнением вида

b. Доказать, что в случае разрешимости системы

совокупность значений ей удовлетворяющих, определяется сравнением вида

7. Пусть — целое, , а - целые,

где пробегает приведенную систему вычетов по модулю , причем (в смысле вопроса 4, а).

Доказать следующие свойства символа

а) — вещественное.

Y) При имеем

б) При попарно простых, полагая , имеем

8, Пусть сравнение

имеет решений

Доказать, что

где есть сумма всех — сумма произведений по два, — сумма произведений по три и т. д.

9, а. Доказать теорему Вильсона, рассматривая пары чисел ряда удовлетворяющие условию

b. Пусть — целое, . Доказать, что Р — простое.

10, а. Пусть Указать сравнение степени со старшим коэффициентом 1, равносильное сравнению

b. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, что сравнение имеет решений, есть делимость на всех коэффициентов остатка от деления на

c. Пусть — делитель Доказать, что необходимое и достаточное условие разрешимости сравнения есть , причем в случае разрешимости указанное сравнение имеет решений.

11. Пусть — целое, и известно одно решение сравнения . Доказать, что все решения этого сравнения представятся произведением на вычеты решений сравнения

Численные прмеры к главе 4

1, а. Решить сравнение

b. Решить сравнение

2, а. Сравнения примеров 1, а и 1, b решить по способу вопроса 2, с.

b. Сравнение решить по способу вопроса 2, с.

3. Найти все пары х, у, удовлетворяющие неопределенному уравнению

4, а. Указать общее решение для системы

Пользуясь этим общим решением, далее найти три числа, которые делении на 13 и 17 давали бы соответственно остатки 1 и 12, в и 8, 11 и 4.

b. Указать общее решение для системы

5, a. Решить систему сравнений (вопрос в, а)

b. Решить систему сравнений

6. Решить систему сравнений

7, а. Какому сравнению степени ниже 5 равносильно сравнение

b. Какому сравнению степени ниже 7 равносильно сравнение

8, Какому сравнению со старшим коэффициентом 1 равносильно сравнение (вопрос 10, а)

9, а. Решить сравнение

найдя сначала с помощью проб все решения сравнения

b. Решить сравнений

10, а. Решить сравнение

b. Решить сравнение

11, а. Решить сравнение

b. Решить сравнение