Решения к главе 4

1, а. Теорема непосредственно следует из теоремы вопроса 11, а, гл. 111.

b. Пусть - делитель числа обозначает сумму слагаемых с условием в выражении для вопроса а. Находим

где пробегает приведенную систему вычетов по модулю Отсюда выводим

c. Пусть — число решений сравнения . Имеем

d. Пологая , находим

e. Применим метод индукции. Пусть при обозначениях вопроса d теорема верна для переменных. Рассмотрим сравнение

Пусть Условием возможности сравнения (2) будет Последнее сравнение возможно лишь в случае, когда g кратно 4, где причем тогда оно имеет решений. Следовательно, сравнение (2) возможно лишь в случае, когда g кратно и тогда оно имеет решений.

Таким образом, теорема верна и для переменных. Но теорема верна для одного переменного. Значит, она верна всегда.

2, а. Имеем

b. Имеем

откуда, деля почленно на и получим указанную теорему.

c, а) Выбирая надлежащим образом знак, имеем Пусть - наибольшая степень 2, делящая . При имеем

Если же то имеем

С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.

Р) Выбрав надлежащим образом знак, имеем Пусть наибольшая степень 3, делящая . При имеем

Если же то имеем

С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.

у) Пусть — простой делитель числа а. Найдем t из условия . Пусть - наибольшая степень , делящая и пусть Имеем

Если то с этим новым сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.

Указанный способ удобен в случае небольших простых сомножителей числа а.

3. Полагая пишем сравнения

Расположив эти сравнения в порядке возрастания правых частей (ср. вопрос 4, а, гл. II) и вычитая почленно каждое сравнение (кроме последнего) из следующего за ним, получим сравнений вида При этом, по крайней мере, в одном сравнении будет Действительно, и имеет значений, эти значения положительные, и их сумма равна .

4, а, а) Следует из определения символической дроби.

) Здесь можно положить где t определяется условия тогда сравнению удовлетворяет

целое число, представляемое обычной дробью

) Имеем ( кратно кратно с)

) Имеем

b, а) Имеем (сравнения берутся по модулю )

Вопрос 2, b теперь проще решать так:

) Имеем

5, а. Числа попарно не могут иметь общего делителя с d. Произведения могут быть объединены в совокупностей по числу способов, сколькими число d может быть разбито на попарно простых сомножителей с учетом порядка последних (вопрос 11, b, гл. II). Пусть — одно из таких разбиений. Число произведений с условием

равно — Поэтому искомое число равно

b. Указанное число равно

где — число различных простых делителей числа d.

При этом

6, а. Все значения удовлетворяющие первому сравнению, даются равенством где - целое. Чтобы выбрать из них которые удовлетворяют также и второму сравнению, надо ограничиться лишь теми значениями которые удовлетворяют сравнению

Но это сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда кратно d. При этом в случае разрешимости совокупность значений ему удовлетворяющих, определяется равенством вида где — целое; вместе с тем совокупность значений удовлетворяющих рассматриваемой в вопросе системе, определится равенством

b. В случае разрешимости системы

совокупность значений удовлетворяющих, представится сравнением вида . В случае разрешимости системы

совокупность значений удовлетворяющих, представится сравнением вида . В случае разрешимости системы

совокупность значений удовлетворяющих, представится сравнением вида и т. д.

7, а) От замены на (вследствие чего заменится на , величина суммы не изменится.

) Когда пробегает приведенную систему вычетов по модулю , то и пробегает приведенную систему вычетов по модулю т.

у) Полагая получим

) Имеем

Полагая имеем

что и доказывает указанное свойство в случае двух сомножителей. Обобщение на случай более чем двух сомножителей тривиально.

8. Сравнение

имеет решений. Оно степени ниже . Следовательно, все его коэффициенты кратны , а это и выражается сравнениями, указанными в вопросе.

9, а. При соответственно взятому из ряда найдем отличное от него число того же ряда с условием ; действительно, из следовало бы или Поэтому

b. Пусть Допустив, что Я имеет делитель и с условием мы имели бы .

10, а. Находим h с условием . Данное сравнение равносильно такому:

b. Пусть - частное и — остаток от деления на Все коэффициенты - целые, - степени - степени ниже ,

Пусть сравнение за имеет решений. Те же решения будут решениями и сравнения ; поэтому все коэффициенты кратны .

Обратно, пусть все коэффициенты кратны . Тогда кратно при тех же значениях что и поэтому сумма чисел решений сравнений

не меньше чем . Пусть первое имеет а, а второе решений. Из

выводим

c. Возвышая данное сравнение почленно в степень убеждаемся в необходимости указанного условия. Пусть это условие выполнено; из следует, что остаток от деления на есть где кратно .

11. Из следует при этом произведения отвечающие несравнимым по модулю , несравнимы. Из следует , причем, определяя у условием имеем