§ 6. Понятие об уравнении линии

В настоящей главе мы занимались построением графиков различных функций, пользуясь уравнением, связывающим функцию у с аргументом Всякому уравнению между у в отвечает своя линия — график уравнения, Бела уравнение было явное

то график мы строим непосредственно по нему. График неявного уравнения

тоже можно построить, обратив его сначала в явное (т. е. решив относительно у).

График уравнения является не чем иным, как собранием (или, как говорят, геометрическим местом) всех точек, удовлетворяющих этому уравнению. Если бы мы построили не все точки, удовлетворяющие уравнению, то получили бы не весь график, а только его часть. Полным графиком уравнения может считаться только такая линия, которой исчерпываются все точки, удовлетворяющие уравнению, й, следовательно, вне которой таких точек уже нет.

b. В дальнейшем мы будем решать задачу, обратную построению графика. А именно, по данной линии мы будем отыскивать то уравнение, графиком которого эта линия является. При этом особенно следует следить за тем, чтобы, наша линия была полным графиком пайленного уравнения, Иными словами, уравнение должно

1° удовлетворяться всеми точками линии,

2° не удовлетворяться точками, посторонними линии.

Уравнение подобранное согласно требованиям 1° и 2°, и называется уравнением данной линии.

Конечно, чём сложнее линия, тем, вообще говоря, сложнее будет и ее уравнение. Особенно просто выводится уоавневве линии, обладающей каким-либо простым геометрическим свойством, общим для всех точек этой линии и вполне ее определяющим.

Вывод уравнения такой линии будет простым переводом этого геометрического свойства на язык анализа.

d. Напротив, если таким свойством линия не обладает, примером чего может служить линия, начерченная совершенно произвольно от руки, то подобрать для нее уравнение можно только приблйженно. Но такими линиями ввиду сложности этого вопроса мы заниматься не будем.

e. Дальнейшие две главы будут посвящены разысканию уравнений и исследованию на основании этих уравнений простейших линий, характерных своими замечательно простыми геометрическими свойствами. Именно, в главе 4 мы разберем прямую, а в главе 5 окружность и некоторые другие важные кривые,

f. Составление уравнений линий и исследование свойств линий по их уравнениям методами алгебры является одной из важнейших задач отдела высшей математики, называемого аналитической геометрией