§ 9. Расстояние от точки до прямой

а. Найдем расстояние d от точки до прямой

Известно, что расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, ощущенного из точки на прямую. Пусть (х; у) — основание этого перпендикуляра.

Тогда длина вектора и будет искомым расстоянием Рассмотрю скалярное произведение направляющего вектора PQ и вектора (рис. 54),

Рис. 54

Так как эти векторы параллельны, то, смотря по тому, будут ли они направлены в одну или же в противоположные стороны (что тоже может случиться), их скалярное произведепие будет или же

С другой стороны, то же самое скаля рное произведение равно сумме произведений проекций А. и В вектора PQ на соответствующие проекции вектора т. е.

Но так как точка лежит на нашей прямой, то

и потому

Отсюда, замечая, что и помня, что как расстояние должно быть положительным, имеем

b. В частности расстояние d от начала координат до прямой

получим, если возьмем ,

Будем иметь

с Примеры, Расстояние от точки (1; 2) до прямой

будет

Расстояние от начала координат до прямой

будет