§ 11. Поверхность как след, образуемый перемещением некоторой деформируемой плоской кривой

а. Построение поверхности по данному уравнению (1) § 10 можно осуществить следующим образом. Сначала строим точки, отвечающие какому-либо определенному значению Эти точки будут лежать в плоскости параллельной плоскости и отстоящей от нее на расстояние

Рис. 102

Они, следовательно, образуют линию пересечения указанной плоскости с поверхностью (1) § 10.

Для всех точек кривой у одно и то же: . Аппликата z для точек этой кривой зависит теперь от одного только Выражение ее через получим заменив в уравнении (1) § 10 у на постоянное

По уравнению (1) мы можем эту кривую построить (рис. 102).

b, Изменяя немного мы изменим немного и само уравнение кривор является как бы параметром, определяющим форму кривой).

Получим новую кривую, немного измененную, расположенную в плоскости, близкой к прежней и параллельной прежней. Меняя у еще раз, получим еще новую кривую и т. д.

Таким образом, придавая переменной у ряд поставленных значений, например увеличивая ее все время на одну и ту же малую величину мы получим ряд кривых, расположенных на плоскостях параллельных плоскости xOz, которые и охарактеризуют рассматриваемую нами поверхность. Конечно, чем меньше возьмем расстояние А между плоскостями, тем точнее эта поверхность будет охарактеризована.

На рис. 102 изображена часть поверхности, представляющей собою график функции

При постоянном это уравнение изображает эллипс с полуосями а и . На рис. 102 изображены только эллипсы, отвечающие значениям

Это будут эллипсы, у которых большая полуось — постоянная, равная а. Малая же полуось b меняется одесте с

Итак, последовательные значения b на рис. 102 буду такими:

или