§ 14. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

a. Приступим к выводу уравнения плоскости. Положение плоскости определяется заданием точки на ней и направляющим вектором.

Под последним мы будем понимать вектор любой длины с точкой приложения в любой точке пространства и единственным условием, чтобы он был перпендикулярен плоскости,

Рис. 105

Направляющий вектор PQ задается своими проекциями А, В, С на оси координат (начало этого вектора может помещаться в любой точке пространства).

Если теперь — любая точка пространства то вектор будет перпендикулярен направляющему вектору или нет в зависимости от того, будет ли точка М лежать на плоскости или нет (рис. 105),

А так как вектор имеет проекции , то условие перпендикулярности его направляющему вектору как вектору, имеющему проекции выразится формулой

Таким образом, уравнение (1) выполняется если лежит на плоскости и не выполняется, если М на плоскости не лежит. Оно следовательно, и является уравнением плоскости.

b. Например, уравнение плоскости, проходящей черев точку о направляющим вектором, имеющим проекции будет