§ 2. Общее уравнение прямой

a. Раскрывая скобки в уравнепии (1) § 1, получим

Обозначая

мы можем это уравнение переписать в виде

Таким образом, уравпение всякой прямой можно написать в виде (1), где А и В одновременно не равны нулю (в противном случае длина направляющего вектора была бы равна нулю).

b. Обратно, можно показать, что всякое уравпение вида (1), где А и В одновременно не равны нулю, всегда изображает прямую. Действительно, всегда найдутся числа удовлетворяющие условию

(например, при не равном пулю, мы выбираем произвольно; соответствующее же ему выбираем из условия ). Вычитая тогда равенство (2) из уравнения мы приведем последнее к виду

А это как раз и есть уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором, имеющим проекции А и В.

c. Ввиду доказанного в пунктах а и b уравнению где А и В одновременно не равны нулю присвоено название общего уравнения прямой.

Например, общее уравнение прямой рассмотренной в конце § 1, будет