§ 16. Упражнения

1. Доказать, что постоянно возрастает, причем угол наклона касательной к оси абсцисс приближается к прямому по мере приближения

2. Доказать, что постоянно убывает, причем с приближением к нулю угол а приближается к прямому, а при неограниченном возрастании угол а стремится к нулю.

3. Показать, что убывает в интервале и возрастает в интервале ) (тем самым имеет минимум при ).

4. Показать, что вершина параболы находится в точке (3; —4).

5. Доказать, что у, заданная как функция параметрическими уравнениями

(циклоида), возрастает в интервале ) и убывает в интервале

6. Доказать, что возрастает в интервале убывает в интервале наконец, снова возрастает в интервале ).

7. Доказать, что функция при изменении от до все время возрастает.

Доказать, что при всегда

9. Построить график функции в интервале

10. Построить график функции

на отрезке [0, 4].

11. Построить график функции

на отрезке

12. Построить график функции

в интервале

13. Построить график функции

в интервале (ответы к задачам 9, 10, 11, 12 и 13 даны на рис. 48).

14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке . Ответ: наибольшее значение наименьшее значение

15. То же самое для функции

на отрезке Ответ: наибольшее значение наименьшее значение

16. То же самое для функции

на отрезке Ответх наибольшее значение наименьшее значение

17. То же самое для функции

на отрезке [3,9]. Ответ: наибольшее значение наименьшее значение

18. То же самое для функции

на отрезке [1,2]. Ответ, наибольшее значение наименьшее значение

19. Требуется огородить каменной стеной прямоугольную площадку, причем известно, что материала хватит только в том случае, если общая длина стен будет не больше а Как сделать, чтобы огороженная площадь была возможно больше? Ответ: площадка должна иметь форму квадрата.

20. Имеется жестяной лист, имеющий форму квадрата со стороною а см. Из него по углам вырезаны и удалены малые квадраты со стороною Каково должно быть чтобы вместимость коробки, которую получим, перегнув оставшуюся часть листа по линиям, отмеченным пунктиром, была наибольшей (рис. 36)? Ответ: .

21. Та же самая задача, но для листа, имеющего форму прямоугольника с основанием 48 см и высотою 18 см (рис. 37). Ответ: .

22. То же самое, если основание 8 см и высота 5 см. Ответ: см.

23. Требуется построить пятистенку с наибольшей полезной площадью. При этом известно, что сумма длин стен этой пятистенки должна равняться

Рис. 36

Рис. 37

Найти, каковы должны быть длины стен (рис. 38). Ответ: длина малой стены длина большой стены

24. Ту же, по существу, задачу можно поставить иначе. Требуется построить пятистенку с данной полезной площадью

Рис. 38

Рис. 39

Какой формы должна быть пятистенка, чтобы количество затраченного на нее материала (стены) было наименьшим? Ответ: длина малой стены длина большой стены (по существу, это прежний ответ, так как отношение длин большой и малой стен и здесь равно 3/2, как и в задаче 23).

25. В сегмент параболы где вписать прямоугольник наибольшей площади (рис. 39). Ответ

26. В эллипс

вписать прямоугольник наибольшей площади (стороны параллельны координатным осям). Ответ: основание , высота

27. Из листа жести, имеющего форму круга радиуса R, вырезать такой сектор, чтобы, свернув, получить воронку наибольшей вместимости

Рис. 40.

Рис. 41

28. В точке М на вертикальной стене висит электрическая лампочка, которая может передвигаться по стене вверх и вниз (рис. 41). Спрашивается, как надо подвесить эту лампочку, чтобы получить наилучшее освещение в точке N (например, - место на краю стола, где лежит чертеж или книга). Ответ

Указание. Освещенность выражается формулой

где с — постоянная.

29. Из пунктов А а В, расположенных на берегу озера, одновременно выходят два судна (рис. 42), которые плывут по взаимно перпендикулярным направлениям AM и BN. Указать момент наибольшей близости обоих судов, если известно, что и что первое судно плывет со скоростью 8 км/ч, а второе со скоростью Ответ через 10 ч после отплытия.

30. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема. Ответ; радиус основания конуса в 3/2 раза больше радиуса основания цилиндра.

31. Из круглой балки надо выпилить балку формы, указанной на рис. 43 пунктиром.

Рис. 42

Рис. 43

При каких условиях эта балка будет иметь наибольшее поперечное сечение? Ответ:

32. Точка перемещается в среде 1 со скоростью и в среде II со скоростью (рис. 44).

Рис. 44

Рис. 45

Как она должна двигаться, чтобы, идя из точки достигнуть точки М, в наикратчайший срок? Ответ

33. Имеется высокая башня и некоторый предмет длиною а, лежащий на земле в одной плоскости с башней (рис. 45). На какую высоту надо подняться, чтобы видеть предмет под наибольшим углом зрения? Ответ

34. Требуется сделать жестяное корыто формы, указанной на рис. 46 (основание — полукруг). Какими должны быть размеры этого корыта, чтобы при одном и том же количестве материала вместимость его была наибольшей?

Рис. 46

Рис. 47

35. Какими должны быть размеры кастрюли (рис. 47), чтобы при одном и том же количестве материала, затраченного на ее изготовление, она имела наибольшую вместимость? Ответ: радиус дна должен равняться высоте .

36. Доказать, что кривая

выпукла вниз.

37. Доказать, что кривая

выпукла, вверх.

38. Доказать, что кривая

при положительных выпукла вниз, а при отрицательных выпукла вверх.

39. Доказать, что тангенсоида

при отрицательных выпукла вверх, а при положительных выпукла вниз (так что при имеется точка перегиба).

40. Доказать, что синусоида в интервале выпукла вверх, а в интервале выпукла вниз.

41. Построить кривую для всего интервала

42. Построить кривую для всего интервала

43. Дать более детальное построение кривой задачи 9.

44. То же для задачи 10.

45. То же для задачи 11.

46. То же для задачи 12.;

47. То же для задачи 13.

Ответы к задачам 41—47 см. на рис. 48.

Рис. 48

48. Исследуя знак первой производной, найти максимумы и точки замедления функции (задача 9).

49. То же для функции (задача 10).

50. То же для функции (задача 11).

51. То же для функции (задача. 12).

52. То же для функции (задача 13).

53. Задачу 48 решить исследованием знака высших производных.

54. То же для задачи 49.

55. То же для задачи 50.

56. То же для задачи 51.

57. То же для задачи 52.

58. Подобным же путем произвести исследование в задаче 41.

59. То же сделать для задачи 42.

60. Построить график функции Ответ см. на рис. 49.

61. Построить график функции . Ответ см. на рис. 50.

62. Найти дифференциал дуги и направляющие косинуо и синус касательной для эллипса

в точке о абсциссою Ответ:

63. То же самое для астроиды

64. Найти выражение радиуса кривизны эллипса . Ответ:

65. То же самое для астроиды

Ответ:

66. Проекции радиуса кривизны МК в точке М на оси координат можно, выразить двумя способами: через координаты конца и начала, а также как произведения длины R радиуса кривизны на его направляющие косинус и синус.

Рис. 49

Рис. 50

Вывести отсюда выражения для координат центра кривизны:

67. Выражая в этих уравнениях правые части через (или через параметр t, когда кривая задана параметри чески) и затем исключая получим уравнение, связывающее т. е. уравнение эволюты. Найти уравнение эволюты параболы Ответ:

68. Найти параметрические уравнения эволюты циклоиды и показать, что, вводя вместо t новый параметр уравнением

и затем перенося начало координат в новую точку

мы приведем уравнение эволюты к виду

(т. е. эволюта циклоиды — тоже циклоида).