§ 5. Связь эллипса с окружностью

a. К эллипсу можно подойти еще с другой точки зрения, чем мы это делали до сих пор. Мы покажем сейчас, что эллипс с полуосями а и b можно получить из окружности радиуса а, центр которой, как и у эллипса, находится в начале координат, путем умножения длин всех ординат на одну и ту же дробь Действительно, если через и у обозначим соответственно ординаты окружности и эллипса, отвечающие одной и той же абсциссе (рис. 61), то

Сравнивая эти уравнения, получим равенство

которое и доказывает паше утверждение.

b. Указанное изменение ординат окружности с целью нодучигсь из них ординаты эллипса можно сделать чисто геометрически, и тогда мы получим другой способ построения эллипса.

Рис. 61

Рис. 62

Для этого строим две концентрические окружности с радиусами а и b и центром в начале координат.

Если теперь мы возьмем какую-либо точку на внешней окружности, то путем построения, указанного на рис. 62, мы немедленно получим соответствующую точку М эллипса. (Строим радиус и ординату тогда прямая, проведенная через точку L параллельно оси абсцисс, пересекаясь с ординатой и дает искомую точку М эллипса.)

Действительно, имея в виду теорему о пропорциональности отрезков отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла имеем

т. е. КМ получается из ординаты окружности путем умножения ее на а следовательно, и есть ордината эллипса