Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.

Теорема 2. Для того чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий

Доказательство. Необходимость. Пусть положительно определена. Тогда существует подстановка с невырожденной матрицей В, преобразующая форму в ПРИ . Тогда

и Но Следовательно, .

Теперь рассмотрим часть формы

Эта форма, рассматриваемая как форма от положительно определена, ибо ее значения при не равных одновременно нулю суть значения формы при не равных одновременно нулю значениях для Поэтому

Достаточность. Пусть при . Тогда форма может быть преобразована к каноническому виду посредством преобразования переменных с верхней унитреугольной матрицей и, как мы видели выше, каноническая форма будет равна

Все коэффициенты при квадратах новых переменных положительны, и, следовательно, исходная форма положительно определена.

Итак, для выяснения положительной определенности квадратичной формы имеются два критерия. Естественно поставить вопрос о том, который из них лучше. Это зависит от ситуации.

Если квадратичная форма задана численно, то для приведения ее к каноническому виду требуется приблизительно столько же арифметических операций, как при вычислении одного определителя. Так что в этом случае первый критерий проще. Для теоретических же исследований лучше критерий Сильвестра, так как он дается простыми формулами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление