4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов.

Пусть — некоторый полином от . Под действием некоторых подстановок букв он может не изменяться. Ясно, что множество подстановок, не меняющих данный полином, образует группу. Эта группа Н является подгруппой всей симметрической группы и ее индекс k равен числу различных полиномов которые можно получить из полинома F посредством подстановок . Под действием этих подстановок полиномы перемещаются так же, как левые классы смежности группы по подгруппе Н при умножении на элементы из справа. Поэтому любой симметрический полином от есть вместе с тем симметрический полином от так что если вместо подставить корни данного полинома то соответствующие значения полиномов будут корнями полинома степени k с коэффициентами, выражающимися виде полиномов от коэффициентов полинома

Рассмотрим в качестве примера применения этих идей вопрос об алгебраическом решении алгебраических уравнений при в поле комплексных чисел.

Пусть Рассмотрим полином , где — первообразный корень степени 3 из единицы. При круговых подстановках полином приобретает множители и, следовательно, при этом не меняется. Круговые подстановки образуют подгруппу индекса 2 в симметрической группе и представителями классов смежности можно считать 1 и транспозицию . Она переводит и, соответственно, . Поэтому являются симметрическими полиномами от

Именно, . Симметрическим оказывается не только

Таким образом, определяются как корни квадратного уравнения с известными коэффициентами. Затем находятся посредством извлечения кубического корня, причем значения корней нужно согласовать так, чтобы произведение равнялось . Далее, находятся посредством решения линейной системы

которая дает

Легко видеть, что это решение ничем не отличается от решения формуле Кардано.

Пусть теперь . В качестве возьмем . Полином не меняется при восьми подстановках, составляющих подгруппу индекса 3 в симметрической группе . Другие подстановки щереводят в Симметрические полиномы от будут симметрическими и от . Именно, основные симметрические полиномы будут:

Считая, что — корни полинома мы можем составить кубическое уравнение для

Найдя один из корней мы в состоянии найти , решая цепочку квадратных уравнений. Получается способ, совпадающий со способом Феррари.

Известный под названием метода Эйлера способ получим, еслк возьмем . Полином не меняется при той же группе из восьми подстановок, что и . Подстановки из классов смежности группы по этой подгруппе переводят в . Выражения основных симметрических полиномов от дают:

причем симметрическим оказывается и

Таким образом, значения полиномов от корней полинома оказываются корнями кубического уравнения с известными коэффициентами. Найдя нужно извлечь из них квадратные корни, распорядившись знаками корней так, чтобы их произведение равнялось —

Корни найдем из системы линейных уравнений. Получим

Тонкий анализ близких идей привел Руффини и Абеля к доказательству неразрешимости в радикалах общих уравнений пято» и выше степени. Мы не будем касаться этого трудного вопроса.