Гомоморфизмы групп.

В соответствии с определением гомоморфизма алгебр и с тем, что группы — частный случай алгебр, дадим следующие определения.

Пусть — мультипликативные группы.

Говорят, что отображение h множества G в Н сохраняет главные операции группы если выполняются условия:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизмом группы группу называется отображение множества G в , сохраняющее главные операции группы Гомоморфизм группы на называется эпиморфизмом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм h группы на группу называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества G на Н. Группы называются изоморфными, если существует изоморфизм группы на

Запись означает, что группы и изоморфны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм h группы в группу называется мономорфизмом или вложением, если является инъективным отображением множества G в Н.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом группы Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом группы

Так, например, автоморфизмом является тождественное отображение группы на себя.

ТЕОРЕМА 3.1. Если отображение h группы в группу сохраняет бинарную операцию группы т. е.

то h переводит единицу группы в единицу группы и является гомоморфизмом.

Доказательство. Пусть — единица группы . В силу . Отсюда, по свойству 3.7, следует, что является единицей группы

Пусть а — любой элемент группы В силу (1) из следует По свойству 3.9, отсюда вытекает, что

На основании (1) и (2) заключаем, что h является гомоморфизмом группы .

ТЕОРЕМА 3.2. Отношение изоморфизма на каком-нибудь множестве групп рефлексивно, транзитивно и симметрично, т. е. является отношением эквивалентности.

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 2.5.

Примеры. 1. Пусть Q — множество всех рациональных чисел, отличных от нуля, и — мультипликативная группа рациональных чисел. Пусть — множество всех положительных рациональных чисел и — мультипликативная группа положительных рациональных чисел. Отображение h множества Q на определяемое формулой для каждого а из Q, где — абсолютное значение числа а, сохраняет главные операции группы . В самом деле, для любых а, b из Q верны равенства Следовательно, отображение h является гомоморфизмом группы на

2. Пусть — множество всех положительных действительных чисел и — мультипликативная группа положительных действительных чисел. Пусть R — множество всех действительных чисел и — аддитивная группа действительных чисел. Рассмотрим отображение определяемое формулой Функция f есть инъективное отображение множества на R, сохраняющее главные операции группы . В самом деле, для любых х, у из

Следовательно, f является изоморфизмом группы на группу

3. Пусть g — отображение множества R на определяемое формулой Отображение g есть инъективное отображение R на и сохраняет главные операции аддитивной группы так как Следовательно, g является изоморфизмом аддитивной группы на мультипликативную группу