Эквивалентные системы векторов.

На множестве конечных систем векторов данного векторного пространства V введем бинарное отношение .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть S и — системы векторов; если каждый ненулевой вектор любой из этих систем можно представить в виде линейной комбинации векторов другой системы.

Легко проверить, что бинарное отношение рефлексивно, транзитивно и симметрично, а значит, является отношением эквивалентности. В связи с этим системы векторов S и Т называются эквивалентными, если Отметим, что пустая система векторов эквивалентна как пустой системе векторов, так и системе, состоящей из нулевых векторов.

Рассмотрим некоторые свойства эквивалентных систем векторов.

ТЕОРЕМА 1.6. Две системы векторов эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их линейные оболочки.

Доказательство. Пусть . Тогда каждый вектор системы S принадлежит множеству , а каждый вектор системы Т принадлежит множеству

Поэтому в силу свойства .

Обратно: если то, очевидно,

ТЕОРЕМА 1.7. Если две конечные системы векторов эквивалентны и каждая из них линейно независима, то эти системы состоят из одинакового числа векторов.

Доказательство. Теорема, очевидно, верна, если обе системы векторов пустые. Пусть — две непустые эквивалентные системы векторов, каждая из которых линейно независима. Тогда в силу следствия Следовательно,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями конечной системы векторов называются следующие преобразования:

(а) умножение какого-нибудь вектора системы на отличный от нуля скаляр;

(Р) прибавление (вычитание) к одному из векторов системы другого вектора системы, умноженного на скаляр;

(7) исключение из системы или введение в систему нулевого вектора.

Элементарные преобразования называются неособенными, преобразование называется особенным.

ТЕОРЕМА 1.8. Если одна конечная система векторов получается из другой системы векторов в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы эквивалентны.

Доказательство. Пусть

— исходная система векторов. Если умножить один из векторов системы, например первый, на отличный от нуля скаляр Я, то получим систему эквивалентную исходной системе.

Если прибавить к одному из векторов системы другой вектор, умноженный на скаляр, например прибавить к первому вектору вектор, умноженный на , то получим систему эквивалентную исходной системе.

Применение к исходной системе векторов преобразования , очевидно, приводит к системе векторов, эквивалентной исходной системе. Следовательно, в силу транзитивности отношения эквивалентности система векторов, получающаяся из системы (1) в результате цепочки элементарных преобразований, эквивалентна исходной системе векторов (1).