§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ
Матрица линейного оператора.
Пусть
— конечномерное векторное пространство над полем 

— его базис и
— линейный оператор пространства
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть
— векторные пространства над полем
. Алгебра

является векторным пространством над полем 
Доказательство. Согласно следствию 1.2, множество
замкнуто относительно сложения и унарных операций со, умножения на скаляры из поля 
Отметим, что через
обозначается унарная операция в множестве
, ставящая в соответствие каждому оператору
оператор —
и через
— нулевое отображение
в
Алгебра
является абелевой группой. Действительно, легко проверить, что для любых
, выполняются равенства

Кроме того, легко проверить, что для любых 

Таким образом, выполняются все аксиомы векторного пространства.
Векторное пространство

будем называть векторным пространством линейных отображений
в Т и обозначать через 