Ограничение функции.

Частным случаем ограничения бинарного отношения является ограничение функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция g называется ограничением (или сужением) функции если . Если то говорят также, что f есть расширение (или продолжение) функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция g называется ограничением функции множеством А (или сужением функции f на множество А), если

Ограничение функции f множеством А обозначается или .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.23. Если , то функция является ограничением функции f множеством А, т. е.

Это предложение непосредственно следует из определения функции

ТЕОРЕМА 3.24. Функция g является ограничением функции f тогда и только тогда, когда для любого из .

Доказательство. Предположим, что . Тогда и для любого из следует ее следовательно,

Теперь предположим, что для любого . Тогда для любых у из т. е. из следует, что следовательно,