Фактор-алгебра.

Пусть — алгебра и R — отношение эквивалентности на множестве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение R называется конгруэнцией или отношением конгруэнтности в алгебре если R является конгруэнцией относительно каждой главной операции алгебры , т. е. для любых элементов множества из

следует

где — ранг операции

Пусть — алгебра, R — конгруэнция в — фактор-множество множества по R. На множестве определим -местную операцию соответствующую операции f из Q, следующим образом:

Это определение корректно, так как в силу (2) значение правой части (3) не зависит от выбора элементов соответственно в классах эквивалентности (см. доказательство теоремы 1.9). Операция называется операцией, ассоциированной с операцией посредством конгруэнции R. Обозначим через Q множество всех операций, ассоциированных с главными операциями алгебры посредством конгруэнции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — алгебра и R — конгруэнция в Алгебра называется фактор-алгеброй алгебры по конгруэнции R и обозначается через

ТЕОРЕМА 2.11. Пусть R — конгруэнция в алгебре Тогда отображение h множества такое, что

является гомоморфизмом алгебры на фактор-алгебру

Доказательство. Из (1) следует, что h есть отображение на . Надо показать, что h сохраняет все главные операции алгебры Пусть — произвольная главная операция алгебры — ассоциированная с ней главная операция фактор-алгебры Тогда в силу (1) для любых из

где m — ранг операции Следовательно, h является гомоморфизмом алгебры на фактор-алгебру Отметим, что гомоморфизм h, определяемый с помощью (1), называется естественным гомоморфизмом алгебры на фактор-алгебру

ТЕОРЕМА 2.12. Пусть h — гомоморфизм алгебры в алгебру и R — такое бинарное отношение на что для любых а, b из

Тогда R является конгруэнцией в алгебре А.

Доказательство. Отношение R есть отношение равнообразности отображения силу теоремы 2.4.4 оно является отношением эквивалентности на

Пусть — произвольная главная операция (ранга ) алгебры и — соответствующая ей главная операция алгебры . В силу (1) для любых множества из

следуют равенства

Предположим, что элементы удовлетворяют условиям (2) и, следовательно, условиям (3). Тогда, поскольку h — гомоморфизм имеем

Таким образом, из (2) следует равенство

Отсюда, по определению R, получаем

Итак, для любых элементов множества из (2) следует (4). Следовательно, R является конгруэнцией в