Определитель произведения матриц.

Сначала докажем две леммы.

ЛЕММА 5.5. Если — элементарная матрица, имеющая тот же порядок, что и квадратная матрица В, то

Доказательство. Всякая элементарная матрица треугольна, и поэтому ее определитель равен произведению элементов главной диагонали. Следовательно,

кроме того,

На основании (2) и (3) заключаем, что имеет место (1).

ЛЕММА 5.6. Если — элементарные матрицы, имеющие тот же порядок, что и квадратная матрица В, то

Доказательство (ведется индукцией по числу s). По лемме 5.5, лемма 5.6 верна при Предположим, что лемма верна для элементарных сомножителей, и докажем, что тогда она верна для s сомножителей. По лемме 5.5 имеем

По индуктивному предположению,

следовательно,

Таким образом, равенство (4) верно для любого s. СЛЕДСТВИЕ 5.7. Если — элементарные матрицы одного и того же порядка, то

ТЕОРЕМА 5.8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Доказательство. Первый случай: строки матрицы А линейно независимы. По теореме 2.8, матрицу А можно представить в виде произведения элементарных матриц, поэтому По лемме 5.6 имеем

Кроме того, по следствию 5.7,

следовательно,

Второй случай: строки матрицы А линейно зависимы. В этом случае матрицу А при помощи цепочки строчечных неособенных элементарных преобразований можно привести к ступенчатой матрице, которую обозначим через С; так как строки матрицы линейно зависимы, то С имеет нулевую строку. Если

то, по свойству 2.4 элементарных матриц,

Умножим это равенство справа на матрицу В:

По лемме Так как С и, значит, СВ — матрицы с нулевой строкой, то . Кроме того (по лемме 5.5),

следовательно, . Так как строки матрицы А линейно зависимы, то одна из строк матрицы А есть линейная комбинация других строк. Поэтому (согласно свойству 4.7 определителей) . Следовательно,

Итак,