Евклидовы кольца.

Пусть N — множество всех натуральных чисел, а К — основное множество кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область целостности называется евклидовым кольцом, если существует отображение h множества К в N, удовлетворяющее условиям:

(а) для любых а, b из К при существуют в К такие элементы q, , что

для любого а из К равенство выполняется тогда и только тогда, когда

Пример. Пусть h — такое отображение множества Z целых чисел в N, что . В силу теоремы о делении с остатком (см. теорему 4.4.4) h удовлетворяет условиям (а) и (Р). Следовательно, есть евклидово кольцо.

ТЕОРЕМА 3.14. Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Доказательство. Пусть — евклидово кольцо и h — отображение множества К в N, удовлетворяющее условиям (а) и (Р). Нулевой идеал, очевидно, — главный. Пусть М — ненулевой идеал кольца . Нам надо доказать, что идеал М — главный. Так как — непустое множество, то в силу есть непустое подмножество множества и, значит, по теореме 4.3.11, имеет наименьший элемент.

Следовательно, существует в М такой ненулевой элемент b, что

Докажем, что . Пусть а — произвольный элемент множества . В силу условия (а) существуют в К такие элементы q и , что

Так как М — идеал и , то и в силу (1), (2) имеем

Следовательно, . А так как а — произвольный ненулевой элемент множества М, то . Поскольку , то следовательно, любой идеал евклидова кольца является главным.

СЛЕДСТВИЕ 3.15. Любое евклидово кольцо факториально. СЛЕДСТВИЕ 3.16. Кольцо целых чисел является кольцом главных идеалов и, значит, факториально.

Пример. Пусть . Множество замкнуто в кольце комплексных чисел. Поэтому алгебра есть подкольцо кольца

Это кольцо называется кольцом целых гауссовых чисел. Покажем, что кольцо — евклидово. Рассмотрим отображение h множества в N такое, что при Условие (Р), очевидно, выполняется. Покажем, что для h выполняется условие (а). Пусть . Тогда где а,

Существуют такие целые числа s и t, что

Положим . Тогда , где при этом Поэтому и т. е. h удовлетворяет также условию (а).

Таким образом, кольцо целых гауссовых чисел является евклидовым.