Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.

Следующая теорема дает возможность определять число действительных и мнимых корней уравнения третьей степени.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть

— уравнение с действительными коэффициентами и . Тогда

если то уравнение (1) имеет один действительный корень и два мнимых сопряженных,

если то корни уравнения (1) действительны и хотя бы один из них кратный;

если , то все корни уравнения (1) действительны и различны.

Доказательство. Первый случай: . В этом случае корни и разрешающего уравнения действительны и различны. Следовательно, хотя бы один из них, например отличен от нуля. Пусть — арифметический корень из . Число v также является действительным числом, поскольку Так как и, значит, то По следствию 3.2,

Поскольку — действительные различные числа, из формул (II) следует, что — действительный корень, а — мнимые сопряженные.

Второй случай: . Если то . Пусть — арифметический корень из числа . Поскольку есть действительное число, то . В силу формул (II) отсюда следует, что

Таким образом, при уравнение (I) имеет три действительных корня, причем один из них двукратный.

Если же , то и . В этом случае уравнение (1) имеет вид . Следовательно, . Третий случай: . В этом случае

Следовательно, — мнимые сопряженные числа, поэтому

и

В силу теоремы 3.1 существуют числа и у такие, что

Из (1) и (3) следует, что и, значит,

Далее, в силу (2)

На основании (3) и (4; заключаем, что

На основании (3) и (6) получаем

Из (5) и (7) следует, что и у — мнимые сопряженные числа. По следствию 3.2 имеем:

Поскольку из этих формул следует, что все корни действительны. Кроме того, они попарно различны. Действительно, в силу формул (II) . Допустим, что . Тогда в силу формул (I) откуда ; поэтому . Отсюда вытекают равенства однако последнее равенство противоречит условию

Аналогично убеждаемся, что