2. Устойчивость.

Для исследования устойчивости проблемы собственных значений надо наряду с матрицей рассмотреть эрмитово сопряженную к ней матрицу . Поскольку при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, а замена всех матричных элементов комплексно сопряженными величинами приводит к замене определителя тоже комплексно сопряженным числом, то Отсюда видно, что если есть собственное значение матрицы , то , то есть есть собственное значение матрицы . Следовательно, собственные значения эрмитово сопряженных матриц комплексносопряжены друг другу.

Обозначим собственные векторы матриц соответственно через . Докажем, что собственные векторы сопряженных матриц, соответствующие различным (точнее, не комплексно-сопряженным друг другу) собственным значениям, взаимно ортогональны.

Для этого напишем тождества

Скалярно умножим первое равенство слева на , а второе — справа на и вычтем одно из другого; получим

Выражение в левой части этого равенства равно нулю. Вынося X из скалярных произведений правой части этого равенства, получим или

что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что у эрмитовых матриц собственные значения вещественны, а собственные векторы образуют ортогональную систему (поскольку ).

Рассмотрим устойчивость проблемы собственных значений. Для простоты ограничимся случаем, когда собственные векторы матрицы образуют базис, а данное собственное значение — простое.

Если немного изменить матричные элементы, то поправки к собственному значению и соответствующему вектору с точностью до величин второго порядка малости удовлетворяют линеаризованному уравнению

Разложим поправку по невозмущенным собственным векторам. Вектор определен с точностью до множителя; подберем этот множитель так, чтобы диагональный коэффициент разложения обратился в нуль:

Подставляя это разложение в (6) и умножая слева на различные собственные векторы сопряженной матрицы, получим

Поскольку вариация матрицы может быть любой, то максимумы правых частей обоих последних равенств равны

Тогда максимально возможные ошибки собственного значения и компонент собственного вектора не превышают (с точностью до отброшенных в ходе выкладок бесконечно малых более высокого порядка) следующих значений:

Здесь через обозначен так называемый коэффициент перекоса матрицы

где есть угол между соответствующими векторами данной матрицы и эрмитово сопряженной к ней.

Заметим, что для эрмитовой матрицы все коэффициенты перекоса равны единице, поскольку соответствующие векторы ортогональны. А для типичной жордановой клетки

выполняется условие т. е. коэффициент перекоса обращается в бесконечность. Очевидно, что для любых матриц

Выводы из оценки (7) можно сформулировать следующим образом. Собственное значение устойчиво относительно вариации матричных элементов, если соответствующий ему коэффициент перекоса мал; если этот коэффициент перекоса очень велик, то устойчивость может быть плохой. Собственный вектор устойчив по матричным элементам, если все коэффициенты перекоса матрицы невелики, а данное собственное значение — простое.

Значит, все собственные значения эрмитовых матриц мало чувствительнык погрешностям матричных элементов. А собственные значения жордановых подматриц могут быть очень чувствительны к погрешностям. Проиллюстрируем последнее на примере неэрмитовой матрицы 20-го порядка:

где через обозначено малое возмущение нулевого углового элемента. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид

При младший коэффициент характеристического многочлена есть , а наименьшее по модулю собственное значение Если же положить , то коэффициент обращается в нуль, а тогда Таким образом, и коэффициенты и сами корни характеристического многочлена могут быть очень чувствительны к малым погрешностям матричных элементов, что означает слабую устойчивость задачи. Это согласуется со сделанным в § 2 главы V замечанием о том, что корни многочлена высокой степени нередко чувствительны к погрешностям коэффициентов.

Но для эрмитовых матриц собственные значения хорошо устойчивы по матричным элементам. Даже для неэрмитовых матриц опасна вариация не любого коэффициента; например, к возмущениям элементов главной диагонали собственные значения мало чувствительны.