2. Неявная схема.

Если схема условно устойчива, то случайное небольшое нарушение условия устойчивости может привести к быстрому нарастанию погрешностей, вплоть до «авостов» при расчетах на ЭВМ. Поэтому многие вычислители предпочитают использовать безусловно устойчивые неявные схемы.

Построим хорошую неявную схему для задачи (1).

Возьмем изображенный на рис. 92 шаблон и составим схему с весами при пространственных производных на разных слоях:

чтобы все веса были неотрицательны, следует брать

В граничных узлах решение определяется из краевых условий (26).

Исследуем построенную схему. Значения решения на нулевом и первом слоях вычисляют, как и в п. 1, по формулам (3) и (46). На остальных слоях схема (12) с краевыми условиями (26) образует относительно у линейную систему уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы преобладают; решение этой системы существует, единственно и вычисляется методом прогонки.

Рис. 92.

Разложением решения по формуле Тейлора нетрудно установить, что на решениях с непрерывными четвертыми производными схема (12) аппроксимирует уравнение (1а) с погрешностью при любом .

Устойчивость проверяется методом разделения переменных. Делая подстановку (7), получим для множителя роста квадратное уравнение

Ha основании тех же рассуждений, что и в п. 1, можно сделать следующий вывод: устойчивость будет только при комплексно сопряженных корнях, т. е. при Отсюда вытекает условие устойчивости схемы:

Из неравенства (14) видно, что при схема (12) безусловно устойчива. Если , то схема условно устойчива при

Таким образом, при выборе веса неявная схема (12) безусловно сходится с точностью

Замечание 1. Схема (12) при переходит в схему «крест», а условие. устойчивости (14) в условие Куранта (9).

Замечание 2. Обобщим неявную схему (12) на случай задачи с переменной скоростью звука:

где коэффициенты переменны и кусочно-непрерывны вместе со своими вторыми производными, причем разрывы неподвижны (т. е. лежат на линиях ). Предполагается, что на этих разрывах выполняются условия сопряжения

Выберем по t равномерную сетку, а по — специальную неравномерную сетку (у которой все точки разрыва коэффициентов являются узлами). Построим аналог наилучшей консервативной схемы (11.34), используя во всех пространственных операторах значения со среднего слоя:

Известно, (см. [30]), что при сделанных предположениях (и достаточно гладких начальных и граничных данных) эта схема равномерно сходится со скоростью если выполнено условие устойчивости (14).

Из схемы (16) нетрудно получить схемы для гладких и для постоянных коэффициентов на произвольных неравномерных по сетках. В случае k = const и равномерной сетки схема (16) совпадает со схемой (12).