6. Монотонность схем.

В п. 1 отмечалось, что решение однородного уравнения переноса (3), соответствующее монотонным начальным данным, в любой момент времени имеет монотонный профиль. Сохраняется ли это свойство у разностного решения? Иными словами, пусть профиль монотонен; будет ли монотонным профиль

Однородные разностные схемы, сохраняющие монотонность профиля разностного решения, называются монотонными.

Признак монотонности. Явная двуслойная линейная однородная схема

(34)

монотонна тогда и только тогда, когда все

Доказательство. Из (34) следует равенство

Если профиль монотонен (для определенности — невозрастающий), то все скобки в правой части (35) неотрицательны. Тогда, если все , то и профиль также невозрастающий. Достаточность условия доказана.

Предположим, что хотя бы один коэффициент . Выберем такой невозрастающий профиль:

Подставляя его в (35), получим

т. е. монотонность нарушена: имеется локальное возрастание профиля . Необходимость условия доказана.

Замечание 1. Признак монотонности относится к разностным схемам, аппроксимирующим как уравнение переноса, так и любые другие типы уравнений.

Замечание 2. Если двуслойная линейная однородная схема неявна, то ее можно преобразовать к явной форме (34), где пределы суммы по I бесконечны, и затем применить признак монотонности.

Теорема. Двуслойная линейная монотонная схема для уравнения переноса не может иметь второй или более высокий порядок точности.

Доказательство. Предположим, что имеется линейная монотонная схема второго (или более высокого) порядка точности. Запишем ее в форме (34), где все Построим равномерную сетку .

Выберем в качестве начальных данных задачи Коши квадратичную функцию

В этом случае решение есть также квадратичная функция и его третьи производные равны нулю. Невязка схем второго порядка точности выражается через третьи производные. Поэтому при квадратичных начальных данных (36) разностное решение для нашей схемы должно совпадать с точным решением.

На первом слое точное и разностное решения равны соответственно

Подставляя разностные решения на исходном (36) и новом (37) слоях в разностную схему (34), получим равенство

В правой части этого равенства стоит неотрицательная величина. Но левая часть при не целом в одной из точек отрицательна. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие. Линейные монотонные схемы для уравнения переноса могут иметь только первый порядок точности.

Примеры. Схема (9) явная, и при выполнении условия устойчивости ее коэффициенты неотрицательны. Следовательно, она монотонна.

Безусловно устойчивая схема (11) неявная. Запишем ее в следующем виде:

Уменьшая индексы на единицу, получим выражение через Подставим его в правую часть (38).

Продолжая процедуру уменьшения индекса, приведем схему к явной форме:

Все коэффициенты здесь положительны; следовательно, схема (11) монотонна при любых h.

Схема (12) линейна и имеет второй порядок точности на трижды непрерывно дифференцируемых решениях уравнения переноса. Из теоремы следует, что эта схема немонотонна.

Рис. 68.

Различие монотонных и немонотонных схем особенно четко проявляется при расчетах задач с разрывными точными решениями (см. рис. 68, жирная линия — точное решение). Расчет по монотонной схеме (11) дает сглаженное разностное решение (кружки), а расчет по немонотонной схеме (12) — характерную «разболтку» (точки); эта «разболтка» не является неустойчивостью.

Сходную «разболтку» дают немонотонные схемы на быстропеременных решениях, особенно если шаг сетки не мал. Именно поэтому приходится решать подобные задачи при помощи монотонных схем, несмотря на их невысокую точность

Наоборот, если решение достаточно гладкое и шаг сетки мал, то даже расчет по немонотонным схемам не нарушает монотонности решения. Например, для схем второго порядка точности монотонность разностного решения обычно сохраняется, если . В этих случаях для расчетов используют схемы точности или более высокой.

Таким образом, фактически немонотонность проявляется на сетках со сравнительно большим шагом. Особенно сильно она сказывается при расчетах многомерных задач, ибо для них скорость или объем оперативной памяти даже лучших ЭВМ не позволяют брать малый шаг. В то же время расчет таких задач по монотонным схемам с погрешностью дает хорошее качественное поведение разностного решения, но невысокую точность.

Теорема о монотонности доказана только для линейных схем. Были попытки построить нелинейные монотонные схемы второго порядка точности.

В частности, были предложены нелинейные монотонные схемы [70], имеющие на достаточно гладких решениях аппроксимацию почти во всех точках; эффективный порядок точности этих схем, определенный на задачах-тестах, близок ко второму при большом и стремится к первому при Эти схемы дают неплохие результаты при расчетах многомерных задач с быстропеременными решениями.

Другое перспективное направление связано с использованием схем третьего порядка точности. Как показали исследования, их фактическая немонотонность на разрывных решениях существенно слабее, чем у схем второго пот рядка точности: амплитуда «разболтки» меньше, и «разболтка» быстро затухает при удалении от разрыва.