3. Асимптотическая устойчивость неявной схемы.

Исследуем, при каких условиях схема (6) позволяет рассчитывать задачи с нулевыми краевыми значениями для очень больших промежутков времени т. е. каковы условия асимптотической устойчивости схемы.

Выход решения параболического уравнения (1) на асимптотику при со определяется скоростью затухания начальных данных. Приведенное в главе IX разложение решения в ряд Фурье (9.7):

показывает, что медленнее всего затухает первая гармоника.

Ей соответствует множитель роста

(17)

Чтобы схема (6) была асимптотически устойчивой, ее множители роста (13) не должны превосходить по модулю величины , т. е. должно выполняться условие

здесь мы преобразовали выражение (13) для к более удобному виду. Разумеется, достаточно выполнения этих неравенств с точностью до членов потому что наличие таких членов приведет к умножению амплитуд гармоник на величину чем при можно пренебречь, даже если t велико.

Нетрудно проверить, что правое неравенство (18) всегда выполняется. В самом деле, монотонно убывает при увеличении т. е. при увеличении q. Поэтому наибольшим является которое с учетом малости h равно

и совпадает с с точностью до членов .

Рассмотрим левое неравенство (18). Величина минимальна при когда Подстановка этого значения в левое неравенство (18) после несложных выкладок приводит к условию асимптотической устойчивости

Оно несколько более жестко, чем условие обычной устойчивости (14). Его можно переписать в следующем виде:

Стоящий слева квадратный трехчлен отрицателен, если лежит между его корнями:

Один из корней отрицателен, а другой положителен. Поэтому условие асимптотической устойчивости (19) принимает вид

В частности, симметричная схема асимптотически устойчива не при любом , а только при

Таким образом, схема (6) при любом о формально является лишь асимптотически условно устойчивой. Однако фактически устойчивость условна только при когда ограничение на шаги принимает вид . Если же условие (20) требует, чтобы выполнялось неравенство , и по существу схема является асимптотически безусловно устойчивой.

Замечание. При больших t схемы с дают низкую точность. Поэтому для таких расчетов обычно используют схему с