3. Двуслойная акустическая схема.

Уравнение второго порядка (1а) можно заменить эквивалентной ему парой уравнений первого Порядка. Для этого введем потенциалы скоростей и правой части:

Функции и удовлетворяют системе уравнений акустики

Начальные условия (16) с учетом (17) примут вид

а граничные условия (1в) останутся без изменения:

Задача акустики (18) нередко оказывается более удобной для численного решения, чем волновое уравнение (1); в частности, она позволяет построить двуслойные разностные схемы, допускающие неравномерную сетку по

Рис. 93.

Неявная схема. Будем рассматривать в узлах неравномерной пространственной сетки величины , а в серединах интервалов — величины . Возьмем шаблон, изображенный на рис. 93, и составим на нем схему с весами

подразумевается, что Исследуем эту схему, подробно останавливаясь только на наиболее важных деталях и для простоты ограничиваясь равномерной по сеткой.

Схема (19) составлена симметрично по переменной если положить поэтому нетрудно сообразить, что она имеет аппроксимацию . Если взять то схема становится вдобавок симметричной по времени и приобретает аппроксимацию

Устойчивость исследуем методом разделения переменных, рассматривая возмущения функций в виде гармоник

с одной и той же частотой и множителем роста, но с разными амплитудами

Подставляя (20) в (19) и полагая получим для амплитуд систему линейных однородных уравнений

Чтобы она имела нетривиальное решение, ее определитель должен обращаться в нуль. Это дает квадратное уравнение для нахождения множителей роста р:

Оба корня уравнения (22а) меньше единицы по модулю тогда и только тогда, если

Первое из этих неравенств очевидно, поскольку по теореме Виета второе доказывается несложными, но громоздкими выкладками. Неравенства (23) выполняются для всех гармоник только в том случае, если

что является условием устойчивости схемы (19). При выполнении этого условия схема сходится со скоростью, соответствующей порядку аппроксимации.

Из неравенств (24) вытекает, что если , то схема (19) безусловно устойчива. Если , но один из весов меньше 1/2, то схема условно устойчива при

Если , то схема безусловно неустойчива.

Рассмотрим два частных случая схемы (19).

Явная схема. Положим ; тогда схема (19) принимает вид

и становится явной. В самом деле, величины явно выражаются из уравнения (26а) через значения величин на исходном слое.

После того, как вычислены все значения можно найти также по явным формулам (266).

Из (25) следует, что схема (26) устойчива при выполнении условия Куранта

Заметим, что схема (26) является схемой типа «крест». В самом деле, будем считать, что величина сдвинута на полшага по а величина на полшага по t относительно узлов сетки (рис. 94). Тогда этой схеме соответствует шаблон из двух крестов, показанных на рисунке жирными линиями.

Зададим согласованные с этим шаблоном граничные данные:

(26в)

и начальные данные, уточненные аналогично (46), где надо вместо взять

Тогда схема (26) при выполнении условия Куранта сходится со скоростью

Симметричная схема. Положим тогда схема (19) является безусловно устойчивой и сходится со скоростью . Эта схема двуслойна, поэтому она позволяет произвольно менять шаг в ходе расчета, обеспечивая при этом точность . Кроме того, поскольку значения соответствуют моменту начальные данные для расчета берут непосредственно из постановки задачи (18):

без каких-либо сдвигов по времени; такая аппроксимация начальных условий является точной.

Рис. 94.

Однако при любых значениях весов (если только один из них не равен нулю) схема (19) неявна. Рассмотрим, как целесообразно вычислять разностное решение в этом случае. Определим из уравнения (19а) и напишем аналогичное выражение для

Подставляя эти выражения в (196) и полагая для простоты h = const, получим

Это линейная система относительно неизвестных имеющая трехдиагональную матрицу с преобладанием диагональных элементов; ее решение легко вычисляется прогонкой. Найдя у, нетрудно определить по явным формулам (19а).

Таким образом, симметричная схема (19) приводит к несложному вычислительному алгоритму, безусловно устойчива и имеет хорошую точность. Она является одной из лучших схем для расчета задач акустики. По аналогии с ней строятся надежные однородные схемы расчета газодинамических и других сложных задач.

Замечание 1. Разностное решение схемы (19) можно, вообще говоря, вычислять методом последовательных приближений:

Однако это эквивалентно применению последовательных приближений к решению системы (28), когда в левой ее части берется 1), а в правой — . Этот метод, записанный в форме сходится при Выбирая одну из норм:

получим для сходимости итераций условие типа Куранта:

Поэтому метод последовательных приближений невыгодно применять к вычислению разностного решения безусловно устойчивых схем.

Замечание 2. Для задач с разрывными или недостаточно гладкими решениями нередко используют чисто неявную схему (19) при , поскольку она подавляет «разболтку» счета. Однако на достаточно гладких решениях эта схема существенно уступает по точности симметричной схеме.