§ 2. Квазилинейное уравнение

1. Сильные и слабые разрывы.

Решение линейного уравнения переноса может иметь разрывы только в том случае, если они содержатся в начальных или граничных данных. В квазилинейном уравнении даже при непрерывных и достаточно гладких начальных данных могут возникать разрывы решения. Характер этих разрывов удобно исследовать на простейшем квазилинейном уравнении переноса

которым мы и ограничимся в данном параграфе. Оно напоминает линейное уравнение переноса, в котором роль скорости переноса играет величина самого решения

Полная постановка задачи при знакопеременной скорости сложна; мы рассмотрим только наиболее важный случай

Тогда начальные и граничные значения решения, заданные на положительных полуосях координат определяют решение в первом квадранте. Эти значения переносятся по характеристикам . Рассмотрим характер решения при четырех основных типах начальных данных.

Рис. 69.

Пер случай. Начальные и краевые значения — непрерывные функции, причем и монотонно не убывает, и (0, t) монотонно не возрастает и они непрерывно согласованы в начале координат.

Наклон (тангенс угла наклона) характеристик в каждой точке плоскости равен . В данном случае наклон монотонно и непрерывно убывает слева направо. Поэтому первый квадрант всюду плотно покрыт характеристиками (рис. 69), причем через каждую его точку проходит одна и только одна характеристика. Эта характеристика переносит в данную точку граничное значение. Решение однозначно определено и непрерывно во всем первом квадранте. Если краевые значения гладки (и согласованы в начале координат), то решение также будет гладким.

Второй случай. Краевые значения монотонны указанным выше образом, но имеют разрывы. Для простоты положим при , а при так что разрыв не нарушает предыдущее условие монотонности.

Левее разрыва характеристики на плоскости имеют наклон а правее разрыва — меньший наклон (рис. 70, а).

Проведем обе характеристики из точки разрыва начальных данных; на рисунке они показаны жирными стрелками. Левее левой и правее правой из них через каждую точку плоскости проходит одна и только одна характеристика, т. е. решение определено и единственно. А между ними нет ни одной характеристики и решение не определено.

Потребуем корректности задачи, т. е. устойчивости решения относительно бесконечно малых возмущений начальных данных. Это позволит нам доопределить решение. Сгладим разрыв начальных данных, заменив его непрерывным монотонным переходом на бесконечно узком интервале. Тогда в пустом угле появится «веер» характеристик и наклон каждой характеристики определит значение решения на ней (рис. 70, б).

Рис. 70.

Легко видеть, что доопределенное решение будет иметь следующий вид:

Поэтому оно непрерывно на всей плоскости, кроме точки . Значит, такой разрыв начальных данных сглаживается со временем. Но след разрыва остается: на жирных характеристиках производные решения будут разрывны. Во всех остальных точках решение будет гладким, если начальные данные были гладкими.

Разрыв производных называют слабым разрывом решения. Слабые разрывы квазилинейного уравнения переноса распространяются по характеристикам, как и в линейном уравнении переноса.

Третий случай. Пусть нарушено данное выше условие монотонности. Опять положим при при но теперь потребуем, чтобы Тогда характеристики будут иметь вид, изображенный на рис. 71.

В угле, образованном жирными характеристиками, через каждую точку проходят две характеристики, приносящие в нее разные значения функции! Вне этого угла решение однозначно определено, а внутри угла оно неоднозначно.

В этом случае непрерывное решение построить не удается. Сглаживание разрыва начальных данных не помогает: ход характеристик на некотором расстоянии от точки все равно не меняется, так что неоднозначность остается. Значит, однозначное решение должно быть разрывным, т. е. оно будет обобщенным решением дифференциального уравнения.

Рис. 71.

Обобщенное решение удовлетворяет некоторому интегральному уравнению, которое получается из определенной дивергентной формы записи данного дифференциального уравнения. Разные дивергентные формы записи одного и того же уравнения приводят к разным разрывным решениям, хотя гладкие решения для всех дивергентных форм одинаковы. Дивергентная форма, соответствующая физическому закону сохранения, определяет правильное решение (его называют также допустимым).

Уравнение (44) не имеет физического смысла, и естественного закона сохранения для него нет. Постулируем такую дивергентную форму:

Будем искать решение, имеющее единственный разрыв. Пусть наклон линии разрыва соответствует скорости D, т. е. разрыв бежит, как волна. По поведению характеристик видно (рис. 72), что искомое решение имеет вид

Проинтегрировав (46) по площади прямоугольника со сторонами , получим

Отсюда скорость распространения разрыва равна

Разрыв самого решения называют сильным разрывом (а в газодинамике — ударной волной). Сильный разрыв квазилинейного уравнения распространяется не по характеристике. В теории квазилинейных уравнений доказывается, что только такое обобщенное решение устойчиво относительно малых возмущений начальных данных.

Четвертый случай, когда функция непрерывна, но убывает на каком-то интервале, сводится к третьему. По-прежнему пересечение характеристик приводит к образованию сильного разрыва (рис. 73). Местная скорость разрыва будет определяться по формуле типа (48) приносимыми в данную точку значениями решения и уже не будет постоянной.

Рис. 72.

Рис. 73.

Существенно, что здесь при непрерывных и гладких начальных данных с течением времени возникают сильные разрывы решения. Число разрывов со временем тоже может измениться.

Замечание 1. Если вместо (46) мы постулируем другой закон сохранения, например:

то скорость ударной волны изменится. Но для слабых ударных волн, на которых решение мало меняется, скорость ударной волны будет отличаться от (48) в раз, где

т. е. изменится очень мало.

Замечание 2. Разрывные решения линейных уравнений можно рассматривать как предел последовательности непрерывных и гладких решений. Для квазилинейных уравнений это сделать не удается.