Главная > Математика > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Метод Адамса.

Будем рассматривать правую часть уравнения не на всей плоскости ее аргументов х, u, а только на определенной интегральной кривой и , соответствующей искомому решению. Тогда она будет функцией только одного аргумента обозначим ее через

Пусть нам уже известно приближенное решение в нескольких точках сетки: . Тогда в этих точках известны также . В окрестности этих узлов можно приближенно заменить интерполяционным многочленом; запишем его для неравномерной сетки в форме Ньютона (2.8):

Ограничимся только написанными членами, так как уже они обеспечивают четвертый порядок точности. Для вычисления решения в следующей точке запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме

и подставим в него интерполяционный многочлен (28). Получим формулу Адамса для переменного шага

Эта формула имеет четвертый порядок точности. Если отбросить последнее слагаемое, получим формулу третьего порядка точности. Аналогично получаются формулы низших порядков. Формула первого порядка совпадает со схемой ломаных.

Чаще пользуются менее громоздким вариантом формулы (30), рассчитанным на постоянный шаг интегрирования. Вместо разделенных разностей вводят конечные разности приблизительно равные производной в точке и получают

Остаточный член этой формулы равен

Метод без изменений переносится на системы уравнений первого порядка типа (25).

Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать . Для начала расчета по формуле (30) надо знать величину решения в четырех точках (а при формуле порядка точности в точках). Поэтому надо вычислить недостающие значения каким-либо другим методом — методом Рунге — Кутта, или разложением по формуле Тейлора с достаточно большим числом членов. При работе на ЭВМ это вдвое увеличивает объем программы. Кроме того, формулы (30) громоздки, а несложные формулы (31) рассчитаны только на постоянный шаг и требуют нестандартных действий при смене шага: надо перейти к формулам (30), сделать по ним четыре шага и снова вернуться к формулам (31).

Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ.

Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять , которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге—Кутта того же порядка точности вычисляется за шаг четыре раза. Однако коэффициент в остаточном члене (27) схемы Рунге — Кутта (24) меньше в 960 раз, чем в схеме (31)! Значит, при одинаковой точности схема Рунге — Кутта (24) позволяет брать шаг в раза крупнее, т. е. фактически вычислять даже меньшее число раз, чем в методе Адамса.

Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге—Кутта.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление