3. Фазовый метод.

Классическая задача для уравнения второго порядка (88) имеет много важных физических приложений. В частности, к этому уравнению приводит квантовомеханическая задача об уровнях энергии частицы, движущейся в заданном одномерном (например, сферически-симметричном) поле. В последнем случае задача Коши для уравнения (88) оказывается очень плохо обусловленной: общее решение уравнения обращается в бесконечность на обоих концах отрезка . Поэтому применять метод стрельбы трудно. Но эта задача настолько важна, что для нее разработаны специальные схемы. Рассмотрим одну из них — фазовый метод.

Воспользуемся тем, что качественное поведение решения известно. Решение имеет осциллирующий характер, причем амплитуда может сильно зависеть от координаты. Введем амплитуду и фазу решения при помощи соотношения

Это соотношение неоднозначно определяет амплитуду и фазу. Для определенности подчиним их дополнительному соотношению

Наглядный смысл его состоит в том, что если взять вектор с координатами и, и, т. е. перейти в фазовую плоскость, то будут амплитудой и фазой этого вектора.

Дифференцируя (89а) и (896) и сравнивая их между собой, получим соотношения

Исключая при помощи этих соотношений и формул (89) функцию и ее производные из уравнения (88), после несложных преобразований расщепим (88) на уравнения для амплитуды и фазы:

Граничные условия (88) при этом естественно приписываются фазе. Если надо найти решение, соответствующее квантовому числу , т. е. имеющее полуволн на , то следует положить

Таким образом, мы получили задачу на собственные значения (91)-(92) только для уравнения фазы. Она легко решается методом стрельбы, поскольку задача Коши для уравнения (91) хорошо обусловлена. Важной особенностью этой задачи является то, что правому краевому условию (92) удовлетворяет только одно определенное из всего спектра исходной задачи (88). Поэтому стрельба всегда сходится именно к требующемуся собственному значению.

После нахождения фазы уравнение для амплитуды легко интегрируется в квадратурах

Амплитуда определена с точностью до множителя и не меняет знака, как и должно быть по смыслу задачи.

Замечание 1. Задача (88) может иметь и другие типы краевых условий. Если исходное краевое условие имеет вид и , то для фазы надо взять условие . Несколько сложней асимптотическое условие и возникающее в задаче на отрезке обычно в таких задачах выполняется Тогда нетрудно построить асимптотику решения при и получить отсюда асимптотическое краевое условие для фазы

Замечание 2. Фаза может быть немонотонной функцией. Однако, если при некотором значение фазы , то поэтому каждую линию интегральная кривая пересекает лишь однажды, а немонотонность может проявляться только между этими линиями. При таком поведении интегральных кривых стрельба с использованием дихотомии надежно сходится к собственному значению, а при использовании метода Ньютона область сходимости нередко оказывается очень узкой.

Замечание 3. Для преодоления последнего недостатка предложена замена функций, несколько более сложная, чем (89), но зато делающая монотонной функцией. При этом стрельба с использованием метода Ньютона сходится за небольшое число итераций.

4. Разностный метод обычно используется в тех случаях, когда стрельба оказывается многопараметрической, или если задача Коши для исходного дифференциального уравнения плохо обусловлена.

Формулируется он так же, как для краевых задач. Введем на сетку и заменим в исходной задаче все производные некоторыми разностными соотношениями. Тогда вместо дифференциального уравнения и краевых условий получим систему алгебраических уравнений

(для простоты записи мы ограничиваемся случаем одного собственного значения). Эта система содержит уравнения, и из нее надо определить такое же число неизвестных: к,

Возникают те же вопросы, что и в краевых задачах. Имеет ли алгебраическая система (93) решение? Если имеет, то как его фактически вычислить? Если разностное решение найдено, то насколько оно близко к точному решению? Сейчас мы рассмотрим линейные задачи, для которых на эти вопросы ответить легче.

Пусть исходная задача является линейной и однородной относительно как, например, задача (88). Воспользуемся линейными разностными аппроксимациями производных. Тогда система (93) будет относительно линейной однородной, т. е. это будет алгебраическая задача на собственные значения матрицы. Так, для задачи (88) при простейших аппроксимациях на равномерной сетке получим систему

где в силу краевых условий. Эта система содержит уравнение; из нее надо определить

Задача (94) имеет спектр собственных значений, состоящий из числа (по порядку матрицы). Первые собственные значения являются приближениями к первым собственным значениям из дискретного спектра исходной задачи (88). Если разностная схема составлена так, что матрица алгебраической системы (93) является эрмитовой, то приближенные собственные значения будут вещественными.

Собственные значения и собственные векторы линейной системы (93) вычисляют методами, описанными в главе VI. Поскольку во многих приложениях матрица системы трехдиагональная (реже — пятидиагональная), а нужны только несколько первых собственных, значений, то выгодно применять метод Дервюдье (см. главу VI, § 4, п. 2). При небольшом числе интервалов сетки удобно также находить корни характеристического многочлена методом парабол, вычисляя сам многочлен по рекуррентным соотношениям (см. главу VI, § 1, п. 4).

Сходимость разностного решения к точному при хорошо исследована только для задач Штурма — Лиувилля

Оказывается, что простейшая схема (94) дает не очень хорошие, а при разрывных коэффициентах — даже неверные результаты. Следует составлять консервативные разностные схемы (они будут подробно рассмотрены в главах X и XI). Если коэффициенты уравнения непрерывны вместе со своими вторыми производными, то простейшие консервативные схемы обеспечивают равномерную сходимость с погрешностью . Так называемая наилучшая консервативная схема обеспечивает погрешность даже при коэффициентах, кусочно-непрерывных со своими вторыми производными, если выбраны специальные разностные сетки (в которых эти точки разрыва являются узлами).

Пример. Рассмотрим частный случай задачи Штурма—Лиувилля

Точное решение этой задачи есть оно нужно для сравнения с численными расчетами. Простейшей разностной схемой для этой задачи является схема (94), в которой надо положить . Эта схема имеет второй порядок точности.

Выполняя расчеты для сеток с числом интервалов , приближенно определим три первых собственных значения.

Они представлены в таблице 22 вместе с точными значениями Из таблицы видно, что с малой погрешностью определяются только те собственные значения, номер которых заметно меньше N. При сгущении сетки приближенные значения быстро стремятся к точным. Очень эффективным оказывается уточнение по правилу Рунге—Ромберга, также приведенное в таблице; уточнение по двум сеткам дает неплохую точность, а уточнение по трем сеткам — отличную.

Таблица 22

На этом примере хорошо видно, что сочетание схемы невысокого (обычно второго) порядка точности с правилом Рунге выгодно: оно обеспечивает высокую точность расчета при несложном алгоритме. Схемы высокого порядка точности обычно довольно громоздки, и организация расчета по ним сложнее.