2. Стационарные разностные схемы.

Такие схемы можно составлять, непосредственно аппроксимируя производные разностями, или при помощи интегро-интерполяционного метода. Например, для многомерного уравнения простейшая разностная замена производных приводит к схеме

Рис. 88.

Составлять разностные схемы мойшо также вариационными методами. Для этого специальным образом выбирают пробные функции , например, считая их сплайнами, построенными по узловым значениям у.

Пример. Рассмотрим решение двумерного уравнения прямоугольной сетке с шагами . Эквивалентная задача на минимум в этом случае имеет вид

(для простоты мы опускаем краевые условия). Разобьем каждую прямоугольную ячейку на две треугольных (рис. 88) и в треугольных ячейках аппроксимируем и линейными функциями; например, в нижнем треугольнике

Совокупность этих функций образует линейный сплайн. Очевидно,

Аппроксимируя правую часть в ячейке например, константой , легко вычисляем интеграл по этой ячейке:

Аналогично вычисляется интеграл по верхней треугольной ячейке. Суммируя эти интегралы, получим

Функционал является квадратичной функцией узловых значений. Приравнивая нулю производные функционала по и учитывая, что эта величина входит в четыре члена двойной суммы (49), получим разностную схему

Это — стационарная схема; легко видеть, что она аппроксимирует непосредственно исходное дифференциальное уравнение.

Замечание. При помощи вариационного метода удобно составлять разностные схемы высотой точности. Для этого решение и правую часть аппроксимируют сплайнами более высокого порядка, обычно кубическими (такая аппроксимация обсуждалась в гл. VII, § 4, п. 4).