2. Метод пробных функций.

Общая схема численного решения заключается в сведении задачи (53) к поиску минимума функции многих переменных. Рассмотрим класс пробных функций заданного вида содержащих свободных параметров и принадлежащих множеству На этом классе функций рассматриваемый функционал будет функцией переменных — свободных параметров:

численное нахождение минимума функции многих переменных было подробно рассмотрено в предыдущих параграфах.

Найдя минимум функции и соответствующие ему значения параметров а, мы определим функцию , на которой функционал достигает своего минимума в классе

Можно ли считать найденную функцию приближенным значением искомого решения у Чтобы выяснить это, рассмотрим предельный переход

Построим бесконечную последовательность классов функций (принадлежащих заданному множеству Y) с увеличивающимся числом параметров так, чтобы каждая функция предыдущего класса получалась из функции последующего класса фиксированием некоторого значения последнего параметра:

Тогда каждый класс вложен в классы с большим индексом. Если обозначить через минимум функционала на этом классе

то

Последовательность не возрастает и ограничена снизу; значит, она сходится к пределу, который больше или равен Ф. Если то последовательность функций , на которых достигается минимум функционала в классах называют минимизирующей (или минимизирующей функционал).

Рассмотрим два понятия, нужных для дальнейшего изложения. Будем называть функционал непрерывным, если он непрерывно зависит от , т. е. если фиксировать у(х), то для любого найдется такое , что при будет выполняться неравенство Очевидно, наличие или отсутствие этого свойства зависит как от вида функционала, так и от выбора нормы функции. Например, наиболее распространенные функционалы имеют вид

где — непрерывная функция всех своих аргументов. Их можно рассматривать в пространстве с нормой тогда непрерывность функционала Очевидна. А в чебышёвском пространстве такой функционал уже не будет, вообще говоря, непрерывно зависеть от

Бесконечная система функций заданного вида называется полной, если при она может аппроксимировать в данной норме сколь угодно высокой точностью любую функцию множества Y. Это значит, что для любой заданной функции и любого существует такое N, что при в классах найдутся функции удовлетворяющие условию Понятие полноты также существенно связано не только с выбором системы , но также с выбором нормы и множества

Достаточные условия сходимости искомому решению дает следующая

Теорема. а) Если система функций полная, а функционал непрерывен, то последовательность является минимизирующей,

б) если требования пункта (а) выполнены и функционал удовлетворяет дополнительному условию

то последовательность сходится к решению у(х) задачи (53).

Доказательство. Поскольку функционал непрерывен, то для искомого решения у(х) задачи (53) и для заданного найдется такое , что если то (в последнем неравенстве не надо ставить знак модуля, ибо есть минимальное значение функционала). Но система полная; следовательно, для функции у(х) и данного существует такое N, что во всех классах при найдутся функции , удовлетворяющие условию . Тогда выполняется неравенство . Поскольку , то отсюда следует неравенство . Оно означает, что

так что первое утверждение теоремы доказано.

Применяя к последнему неравенству условие (70), получим так что второе утверждение теоремы также доказано.

Замечание 1. Сходимость доказана в смысле той нормы, которая входила в определения полноты системы функций, непрерывности функционала и условие (70). Пусть в исходных определениях подразумевались разные нормы; в условиях полноты — аппроксимация в в условии непрерывности функционала — малость и в условии (70) — неравенство при

Если существует такая норма которая не сильнее но не слабее то при переходе к этой норме все неравенства сохранятся. Тогда из теоремы следует сходимость минимизирующей последовательности в

Замечание 2. Пусть функционал определен на множестве Y, но при этом известно, что искомое решение принадлежит некоторому подмножеству Например, функционал (64) определен на множестве кусочно-гладких функций, а решение является кусочно-гладкой функцией, удовлетворяющей краевым условиям (636). В этом случае достаточно искать решение только среди функций подмножества и проверять полноту системы пробных функций и непрерывность функционала лишь по отношению к этому подмножеству. Это может существенно облегчить решение поставленной задачи.

Замечание 3. Нетрудно доказать, что если функционал непрерывен, то для сходимости последовательности необходимо, чтобы эта последовательность была минимизирующей.

Замечание 4. Существуют функционалы, для которых последовательности являются минимизирующими, но при этом ни к какой предельной функции не сходятся. Это нередко встречается в задачах оптимального управления. Такие задачи относятся к некорректно поставленным и требуют регуляризации.

В задачах для конкретных функционалов исследование сходимости сводится к выбору подходящей полной системы функций и нормы и проверке условий теоремы. Норму обычно выбирают из соображений простоты доказательства, но эта норма не должна быть слишком слабой, иначе результат не будет представлять практической ценности.

Метод пробных функций в своей наиболее общей постановке применяется не часто. Если функционал имеет достаточно сложный вид, как в примере (65), или если выбрана система функций , нелинейно зависящих от свободных параметров, - то получающаяся при этом функция имеет достаточно общий вид. Обычно ее минимум удается найти численными методами, только если число переменных (свободных параметров) не превышает 10 — 20. Такого числа параметров не всегда достаточно, чтобы уверенно констатировать сходимость.

Поэтому для конкретных функционалов сложного вида обычно стараются исследовать качественный характер решения и выбирают пробные функции с небольшим числом параметров так, чтобы по своему качественному поведению — асимптотике, полюсам и т. д. — они были бы близки к искомому решению. Проводят исследование непрерывности функционала и полноты системы.

Затем выполняют расчеты с различным числом параметров и смотрят, сходятся ли полученные значения и функции. к какому-то пределу.

Если последовательность выбрана удачно, то величина будет близка к своему пределу Ф уже при небольшом . Например, для функционала энергии атома (65) пробная функция всего с четырьмя параметрами обеспечивает точность расчета полной энергии существенно лучше 1%. Само искомое решение (в данном примере — распределение электронов в атоме) находится при этом с меньшей, но удовлетворительной точностью.

Однако оценить фактическую точность найденного приближения на основании таких расчетов не удается. Далее мы рассмотрим два частных случая метода пробных функций, когда можно получить и более высокую точность, и неплохую оценку погрешности.