7. Плохо обусловленные системы.

Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и правых частей или погрешности округления при расчетах могут сильно исказить решение. Для уменьшения погрешностей округления можно было бы провести на ЭВМ расчет с двойным или тройным числом знаков. Но при наличии погрешности коэффициентов это бесполезно, и нужно регуляризовать исходную задачу.

Исходную систему (1) можно переписать в эквивалентной форме . Если коэффициенты матрицы или правые части известны не точно, то решение также является приближенным. Поэтому на самом деле мы можем требовать только приближенного равенства . Задача становится неопределенной, и для определенности надо добавить какие-то дополнительные условия.

Таким условием может быть требование, чтобы решение как можно меньше отклонялось от заданного вектора , т. е. чтобы скалярное произведение было минимально. Тогда регуляризованная задача формулируется следующим образом:

(20а)

Это можно переписать в эквивалентной форме

где а — малый положительный управляющий параметр и эрмитово сопряженная матрица.

Варьируя в [20), получим следующее уравнение:

где Е — единичная матрица. Решая его (например, методом исключения Гаусса), найдем регуляризованное значение зависящее от параметра а.

Остановимся на выборе параметра. Если , то система (21) переходит в плохо обусловленную систему вида (1). Если же а велико, то регуляризованная система (21) будет хорошо обусловленной благодаря присутствию в левой части хорошо обусловленной матрицы но сама система (21) при большом а сильно отличается от исходной системы, и регуляризованное решение не будет близким к искомому решению. Поэтому слишком малое или слишком большое а непригодны. Очевидно, оптимальным будет наименьшее значение а, при котором обусловленность системы (21) еще удовлетворительна.

Для фактического нахождения оптимума вычисляют невязку и сравнивают ее по норме с известной погрешностью правых частей и с влиянием погрешности коэффициентов матрицы . Если а слишком велико, то невязка заметно больше этих погрешностей, если слишком мало то заметно меньше. Проводят серию расчетов с различными а; оптимальным считают тот, в котором

Для выбора нужны дополнительные соображения; если их нет, то полагают

Обоснование изложенного метода дано в главе XIV. Заметим, что матрица системы (21) эрмитова, так что для ее решения можно применять метод квадратного корня.